Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76481 / 58815
↖ ↑ ↗
← N 18.148462°
E 30.061341°		 ← 290.17 m → N 18.148462°
E 30.064087°		 →
↑
290.20 m
↓
↑
290.20 m
↓
N 18.145852°
E 30.061341°		 ← 290.18 m →
84 208 m²		 N 18.145852°
E 30.064087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583507537841797 y=0.448726654052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583507537841797 × 217)
    floor (0.583507537841797 × 131072)
    floor (76481.5)     		tx = 76481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448726654052734 × 217)
    floor (0.448726654052734 × 131072)
    floor (58815.5)     		ty = 58815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76481 / 58815 ti = "17/76481/58815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76481/58815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76481 ÷ 217
    76481 ÷ 131072     		x = 0.583503723144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58815 ÷ 217
    58815 ÷ 131072     		y = 0.448722839355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583503723144531 × 2 - 1) × π
    0.167007446289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.52466937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448722839355469 × 2 - 1) × π
    0.102554321289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.322183902346397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52466937} λ = 0.52466937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.322183902346397))-π/2
    2×atan(1.38013856334064)-π/2
    2×0.943773369142704-π/2
    1.88754673828541-1.57079632675     		φ = 0.31675041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52466937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.061341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31675041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.148462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76481 KachelY 58815 0.52466937 0.31675041 30.061341 18.148462
    Oben rechts KachelX + 1 76482 KachelY 58815 0.52471730 0.31675041 30.064087 18.148462
    Unten links KachelX 76481 KachelY + 1 58816 0.52466937 0.31670486 30.061341 18.145852
    Unten rechts KachelX + 1 76482 KachelY + 1 58816 0.52471730 0.31670486 30.064087 18.145852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31675041-0.31670486) × R
    4.55500000000053e-05 × 6371000     		dl = 290.199050000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31675041-0.31670486) × R
    4.55500000000053e-05 × 6371000     		dr = 290.199050000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52466937-0.52471730) × cos(0.31675041) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.950252616752724 × 6371000     		do = 290.171068064601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52466937-0.52471730) × cos(0.31670486) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.950266803693645 × 6371000     		du = 290.175400217681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31675041)-sin(0.31670486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950252616752724-0.950266803693645)×R²
    abs(0.52471730-0.52466937)×1.41869409211459e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.41869409211459e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.41869409211459e-05×40589641000000     		ar = 84207.9968977611m²