Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7648 / 4035
↖ ↑ ↗
← N 67.041735°
W 11.953125°		 ← 953.03 m → N 67.041735°
W 11.931152°		 →
↑
953.17 m
↓
↑
953.17 m
↓
N 67.033163°
W 11.953125°		 ← 953.36 m →
908 552 m²		 N 67.033163°
W 11.931152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466827392578125 y=0.246307373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466827392578125 × 214)
    floor (0.466827392578125 × 16384)
    floor (7648.5)     		tx = 7648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246307373046875 × 214)
    floor (0.246307373046875 × 16384)
    floor (4035.5)     		ty = 4035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7648 / 4035 ti = "14/7648/4035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7648/4035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7648 ÷ 214
    7648 ÷ 16384     		x = 0.466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4035 ÷ 214
    4035 ÷ 16384     		y = 0.24627685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466796875 × 2 - 1) × π
    -0.06640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20862139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24627685546875 × 2 - 1) × π
    0.5074462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.59418953376459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20862139} λ = -0.20862139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59418953376459))-π/2
    2×atan(4.92433644597206)-π/2
    2×1.37044766911949-π/2
    2.74089533823899-1.57079632675     		φ = 1.17009901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20862139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17009901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.041735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7648 KachelY 4035 -0.20862139 1.17009901 -11.953125 67.041735
    Oben rechts KachelX + 1 7649 KachelY 4035 -0.20823789 1.17009901 -11.931152 67.041735
    Unten links KachelX 7648 KachelY + 1 4036 -0.20862139 1.16994940 -11.953125 67.033163
    Unten rechts KachelX + 1 7649 KachelY + 1 4036 -0.20823789 1.16994940 -11.931152 67.033163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17009901-1.16994940) × R
    0.000149610000000022 × 6371000     		dl = 953.165310000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17009901-1.16994940) × R
    0.000149610000000022 × 6371000     		dr = 953.165310000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20862139--0.20823789) × cos(1.17009901) × R
    0.000383499999999981 × 0.390060518879373 × 6371000     		do = 953.026479476769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20862139--0.20823789) × cos(1.16994940) × R
    0.000383499999999981 × 0.390198273788991 × 6371000     		du = 953.363053085709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17009901)-sin(1.16994940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390060518879373-0.390198273788991)×R²
    abs(-0.20823789--0.20862139)×0.000137754909618704×R²
    0.000383499999999981×0.000137754909618704×6371000²
    0.000383499999999981×0.000137754909618704×40589641000000     		ar = 908552.186588215m²