Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7648 / 10660
↖ ↑ ↗
← N 76.305157°
W137.988281°		 ← 144.62 m → N 76.305157°
W137.982788°		 →
↑
144.62 m
↓
↑
144.62 m
↓
N 76.303856°
W137.988281°		 ← 144.63 m →
20 916 m²		 N 76.303856°
W137.982788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.116706848144531 y=0.162666320800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.116706848144531 × 216)
    floor (0.116706848144531 × 65536)
    floor (7648.5)     		tx = 7648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162666320800781 × 216)
    floor (0.162666320800781 × 65536)
    floor (10660.5)     		ty = 10660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7648 / 10660 ti = "16/7648/10660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7648/10660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7648 ÷ 216
    7648 ÷ 65536     		x = 0.11669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10660 ÷ 216
    10660 ÷ 65536     		y = 0.16265869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11669921875 × 2 - 1) × π
    -0.7666015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.40834984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16265869140625 × 2 - 1) × π
    0.6746826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.1195779536004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40834984} λ = -2.40834984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1195779536004))-π/2
    2×atan(8.32762210298637)-π/2
    2×1.4512862717166-π/2
    2.90257254343319-1.57079632675     		φ = 1.33177622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40834984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33177622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.305157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7648 KachelY 10660 -2.40834984 1.33177622 -137.988281 76.305157
    Oben rechts KachelX + 1 7649 KachelY 10660 -2.40825396 1.33177622 -137.982788 76.305157
    Unten links KachelX 7648 KachelY + 1 10661 -2.40834984 1.33175352 -137.988281 76.303856
    Unten rechts KachelX + 1 7649 KachelY + 1 10661 -2.40825396 1.33175352 -137.982788 76.303856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33177622-1.33175352) × R
    2.27000000001532e-05 × 6371000     		dl = 144.621700000976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33177622-1.33175352) × R
    2.27000000001532e-05 × 6371000     		dr = 144.621700000976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40834984--2.40825396) × cos(1.33177622) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.236750704978122 × 6371000     		do = 144.619518526834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40834984--2.40825396) × cos(1.33175352) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.236772759565921 × 6371000     		du = 144.632990604432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33177622)-sin(1.33175352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236750704978122-0.236772759565921)×R²
    abs(-2.40825396--2.40834984)×2.20545877994971e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.20545877994971e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.20545877994971e-05×40589641000000     		ar = 20916.0948006455m²