Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76475 / 59383
↖ ↑ ↗
← N 16.659875°
E 30.044861°		 ← 292.61 m → N 16.659875°
E 30.047607°		 →
↑
292.56 m
↓
↑
292.56 m
↓
N 16.657244°
E 30.044861°		 ← 292.61 m →
85 604 m²		 N 16.657244°
E 30.047607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583461761474609 y=0.453060150146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583461761474609 × 217)
    floor (0.583461761474609 × 131072)
    floor (76475.5)     		tx = 76475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453060150146484 × 217)
    floor (0.453060150146484 × 131072)
    floor (59383.5)     		ty = 59383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76475 / 59383 ti = "17/76475/59383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76475/59383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76475 ÷ 217
    76475 ÷ 131072     		x = 0.583457946777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59383 ÷ 217
    59383 ÷ 131072     		y = 0.453056335449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583457946777344 × 2 - 1) × π
    0.166915893554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.52438174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453056335449219 × 2 - 1) × π
    0.0938873291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.294955743362206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52438174} λ = 0.52438174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.294955743362206))-π/2
    2×atan(1.34306691774485)-π/2
    2×0.930782998848652-π/2
    1.8615659976973-1.57079632675     		φ = 0.29076967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52438174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.044861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29076967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.659875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76475 KachelY 59383 0.52438174 0.29076967 30.044861 16.659875
    Oben rechts KachelX + 1 76476 KachelY 59383 0.52442968 0.29076967 30.047607 16.659875
    Unten links KachelX 76475 KachelY + 1 59384 0.52438174 0.29072375 30.044861 16.657244
    Unten rechts KachelX + 1 76476 KachelY + 1 59384 0.52442968 0.29072375 30.047607 16.657244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29076967-0.29072375) × R
    4.59199999999771e-05 × 6371000     		dl = 292.556319999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29076967-0.29072375) × R
    4.59199999999771e-05 × 6371000     		dr = 292.556319999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52438174-0.52442968) × cos(0.29076967) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.958023502857385 × 6371000     		do = 292.605037297417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52438174-0.52442968) × cos(0.29072375) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.958036666637048 × 6371000     		du = 292.609057854562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29076967)-sin(0.29072375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958023502857385-0.958036666637048)×R²
    abs(0.52442968-0.52438174)×1.31637796625395e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.31637796625395e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.31637796625395e-05×40589641000000     		ar = 85604.041059893m²