Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76474 / 59378
↖ ↑ ↗
← N 16.673031°
E 30.042114°		 ← 292.52 m → N 16.673031°
E 30.044861°		 →
↑
292.62 m
↓
↑
292.62 m
↓
N 16.670400°
E 30.042114°		 ← 292.53 m →
85 599 m²		 N 16.670400°
E 30.044861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583454132080078 y=0.453022003173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583454132080078 × 217)
    floor (0.583454132080078 × 131072)
    floor (76474.5)     		tx = 76474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453022003173828 × 217)
    floor (0.453022003173828 × 131072)
    floor (59378.5)     		ty = 59378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76474 / 59378 ti = "17/76474/59378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76474/59378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76474 ÷ 217
    76474 ÷ 131072     		x = 0.583450317382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59378 ÷ 217
    59378 ÷ 131072     		y = 0.453018188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583450317382812 × 2 - 1) × π
    0.166900634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52433381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453018188476562 × 2 - 1) × π
    0.093963623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.295195427860306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52433381} λ = 0.52433381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.295195427860306))-π/2
    2×atan(1.34338886864672)-π/2
    2×0.930897806594281-π/2
    1.86179561318856-1.57079632675     		φ = 0.29099929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52433381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.042114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29099929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.673031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76474 KachelY 59378 0.52433381 0.29099929 30.042114 16.673031
    Oben rechts KachelX + 1 76475 KachelY 59378 0.52438174 0.29099929 30.044861 16.673031
    Unten links KachelX 76474 KachelY + 1 59379 0.52433381 0.29095336 30.042114 16.670400
    Unten rechts KachelX + 1 76475 KachelY + 1 59379 0.52438174 0.29095336 30.044861 16.670400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29099929-0.29095336) × R
    4.59300000000273e-05 × 6371000     		dl = 292.620030000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29099929-0.29095336) × R
    4.59300000000273e-05 × 6371000     		dr = 292.620030000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52433381-0.52438174) × cos(0.29099929) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.957957647919443 × 6371000     		do = 292.523892022885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52433381-0.52438174) × cos(0.29095336) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.957970824669028 × 6371000     		du = 292.527915701888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29099929)-sin(0.29095336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957957647919443-0.957970824669028)×R²
    abs(0.52438174-0.52433381)×1.31767495852309e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.31767495852309e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.31767495852309e-05×40589641000000     		ar = 85598.9387790732m²