Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76471 / 59372
↖ ↑ ↗
← N 16.688817°
E 30.033875°		 ← 292.50 m → N 16.688817°
E 30.036621°		 →
↑
292.49 m
↓
↑
292.49 m
↓
N 16.686186°
E 30.033875°		 ← 292.50 m →
85 555 m²		 N 16.686186°
E 30.036621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583431243896484 y=0.452976226806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583431243896484 × 217)
    floor (0.583431243896484 × 131072)
    floor (76471.5)     		tx = 76471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452976226806641 × 217)
    floor (0.452976226806641 × 131072)
    floor (59372.5)     		ty = 59372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76471 / 59372 ti = "17/76471/59372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76471/59372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76471 ÷ 217
    76471 ÷ 131072     		x = 0.583427429199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59372 ÷ 217
    59372 ÷ 131072     		y = 0.452972412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583427429199219 × 2 - 1) × π
    0.166854858398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.52419000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452972412109375 × 2 - 1) × π
    0.09405517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.295483049258026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52419000} λ = 0.52419000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.295483049258026))-π/2
    2×atan(1.34377531160277)-π/2
    2×0.93103556546741-π/2
    1.86207113093482-1.57079632675     		φ = 0.29127480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52419000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.033875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29127480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.688817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76471 KachelY 59372 0.52419000 0.29127480 30.033875 16.688817
    Oben rechts KachelX + 1 76472 KachelY 59372 0.52423793 0.29127480 30.036621 16.688817
    Unten links KachelX 76471 KachelY + 1 59373 0.52419000 0.29122889 30.033875 16.686186
    Unten rechts KachelX + 1 76472 KachelY + 1 59373 0.52423793 0.29122889 30.036621 16.686186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29127480-0.29122889) × R
    4.59099999999824e-05 × 6371000     		dl = 292.492609999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29127480-0.29122889) × R
    4.59099999999824e-05 × 6371000     		dr = 292.492609999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52419000-0.52423793) × cos(0.29127480) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.957878565086706 × 6371000     		do = 292.499743127865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52419000-0.52423793) × cos(0.29122889) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.957891748215446 × 6371000     		du = 292.503768754819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29127480)-sin(0.29122889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957878565086706-0.957891748215446)×R²
    abs(0.52423793-0.52419000)×1.31831287398798e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.31831287398798e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.31831287398798e-05×40589641000000     		ar = 85554.6020398621m²