Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76470 / 58564
↖ ↑ ↗
← N 18.802318°
E 30.031128°		 ← 289.13 m → N 18.802318°
E 30.033875°		 →
↑
289.12 m
↓
↑
289.12 m
↓
N 18.799718°
E 30.031128°		 ← 289.13 m →
83 592 m²		 N 18.799718°
E 30.033875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583423614501953 y=0.446811676025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583423614501953 × 217)
    floor (0.583423614501953 × 131072)
    floor (76470.5)     		tx = 76470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446811676025391 × 217)
    floor (0.446811676025391 × 131072)
    floor (58564.5)     		ty = 58564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76470 / 58564 ti = "17/76470/58564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76470/58564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76470 ÷ 217
    76470 ÷ 131072     		x = 0.583419799804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58564 ÷ 217
    58564 ÷ 131072     		y = 0.446807861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583419799804688 × 2 - 1) × π
    0.166839599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52414206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446807861328125 × 2 - 1) × π
    0.10638427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.334216064151032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52414206} λ = 0.52414206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.334216064151032))-π/2
    2×atan(1.39684491908346)-π/2
    2×0.949479342508354-π/2
    1.89895868501671-1.57079632675     		φ = 0.32816236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52414206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.031128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32816236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.802318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76470 KachelY 58564 0.52414206 0.32816236 30.031128 18.802318
    Oben rechts KachelX + 1 76471 KachelY 58564 0.52419000 0.32816236 30.033875 18.802318
    Unten links KachelX 76470 KachelY + 1 58565 0.52414206 0.32811698 30.031128 18.799718
    Unten rechts KachelX + 1 76471 KachelY + 1 58565 0.52419000 0.32811698 30.033875 18.799718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32816236-0.32811698) × R
    4.53799999999838e-05 × 6371000     		dl = 289.115979999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32816236-0.32811698) × R
    4.53799999999838e-05 × 6371000     		dr = 289.115979999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52414206-0.52419000) × cos(0.32816236) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.946636220269372 × 6371000     		do = 289.127068087056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52414206-0.52419000) × cos(0.32811698) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.946650845450025 × 6371000     		du = 289.13153499368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32816236)-sin(0.32811698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946636220269372-0.946650845450025)×R²
    abs(0.52419000-0.52414206)×1.4625180653316e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.4625180653316e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.4625180653316e-05×40589641000000     		ar = 83591.9013759113m²