Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7647 / 7137
↖ ↑ ↗
← N 70.725353°
W 95.987549°		 ← 403.26 m → N 70.725353°
W 95.976562°		 →
↑
403.28 m
↓
↑
403.28 m
↓
N 70.721726°
W 95.987549°		 ← 403.33 m →
162 643 m²		 N 70.721726°
W 95.976562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.233383178710938 y=0.217819213867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.233383178710938 × 215)
    floor (0.233383178710938 × 32768)
    floor (7647.5)     		tx = 7647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217819213867188 × 215)
    floor (0.217819213867188 × 32768)
    floor (7137.5)     		ty = 7137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7647 / 7137 ti = "15/7647/7137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7647/7137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7647 ÷ 215
    7647 ÷ 32768     		x = 0.233367919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7137 ÷ 215
    7137 ÷ 32768     		y = 0.217803955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.233367919921875 × 2 - 1) × π
    -0.53326416015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.67529877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217803955078125 × 2 - 1) × π
    0.56439208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.77309004314664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.67529877} λ = -1.67529877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77309004314664))-π/2
    2×atan(5.88902260899917)-π/2
    2×1.40259330271978-π/2
    2.80518660543955-1.57079632675     		φ = 1.23439028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.67529877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.987549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23439028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.725353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7647 KachelY 7137 -1.67529877 1.23439028 -95.987549 70.725353
    Oben rechts KachelX + 1 7648 KachelY 7137 -1.67510702 1.23439028 -95.976562 70.725353
    Unten links KachelX 7647 KachelY + 1 7138 -1.67529877 1.23432698 -95.987549 70.721726
    Unten rechts KachelX + 1 7648 KachelY + 1 7138 -1.67510702 1.23432698 -95.976562 70.721726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23439028-1.23432698) × R
    6.32999999998773e-05 × 6371000     		dl = 403.284299999219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23439028-1.23432698) × R
    6.32999999998773e-05 × 6371000     		dr = 403.284299999219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.67529877--1.67510702) × cos(1.23439028) × R
    0.000191749999999935 × 0.330096729542355 × 6371000     		do = 403.259121105439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.67529877--1.67510702) × cos(1.23432698) × R
    0.000191749999999935 × 0.330156480733137 × 6371000     		du = 403.332115505333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23439028)-sin(1.23432698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330096729542355-0.330156480733137)×R²
    abs(-1.67510702--1.67529877)×5.9751190781776e-05×R²
    0.000191749999999935×5.9751190781776e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.9751190781776e-05×40589641000000     		ar = 162642.791175928m²