Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7647 / 5151
↖ ↑ ↗
← N 55.391592°
W 11.975098°		 ← 1 387.66 m → N 55.391592°
W 11.953125°		 →
↑
1 387.92 m
↓
↑
1 387.92 m
↓
N 55.379110°
W 11.975098°		 ← 1 388.10 m →
1 926 267 m²		 N 55.379110°
W 11.953125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466766357421875 y=0.314422607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466766357421875 × 214)
    floor (0.466766357421875 × 16384)
    floor (7647.5)     		tx = 7647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314422607421875 × 214)
    floor (0.314422607421875 × 16384)
    floor (5151.5)     		ty = 5151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7647 / 5151 ti = "14/7647/5151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7647/5151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7647 ÷ 214
    7647 ÷ 16384     		x = 0.46673583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5151 ÷ 214
    5151 ÷ 16384     		y = 0.31439208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46673583984375 × 2 - 1) × π
    -0.0665283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20900488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31439208984375 × 2 - 1) × π
    0.3712158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.16620889395673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20900488} λ = -0.20900488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16620889395673))-π/2
    2×atan(3.2098008475536)-π/2
    2×1.2687809934827-π/2
    2.5375619869654-1.57079632675     		φ = 0.96676566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20900488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.975098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96676566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.391592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7647 KachelY 5151 -0.20900488 0.96676566 -11.975098 55.391592
    Oben rechts KachelX + 1 7648 KachelY 5151 -0.20862139 0.96676566 -11.953125 55.391592
    Unten links KachelX 7647 KachelY + 1 5152 -0.20900488 0.96654781 -11.975098 55.379110
    Unten rechts KachelX + 1 7648 KachelY + 1 5152 -0.20862139 0.96654781 -11.953125 55.379110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96676566-0.96654781) × R
    0.000217849999999964 × 6371000     		dl = 1387.92234999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96676566-0.96654781) × R
    0.000217849999999964 × 6371000     		dr = 1387.92234999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20900488--0.20862139) × cos(0.96676566) × R
    0.000383490000000014 × 0.567964530582899 × 6371000     		do = 1387.6593413156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20900488--0.20862139) × cos(0.96654781) × R
    0.000383490000000014 × 0.568143819206898 × 6371000     		du = 1388.09738193343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96676566)-sin(0.96654781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567964530582899-0.568143819206898)×R²
    abs(-0.20862139--0.20900488)×0.000179288623999296×R²
    0.000383490000000014×0.000179288623999296×6371000²
    0.000383490000000014×0.000179288623999296×40589641000000     		ar = 1926267.40479798m²