Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7647 / 1768
↖ ↑ ↗
← N 70.959697°
E156.049805°		 ← 1 594.14 m → N 70.959697°
E156.093750°		 →
↑
1 594.73 m
↓
↑
1 594.73 m
↓
N 70.945355°
E156.049805°		 ← 1 595.29 m →
2 543 131 m²		 N 70.945355°
E156.093750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.93353271484375 y=0.21588134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.93353271484375 × 213)
    floor (0.93353271484375 × 8192)
    floor (7647.5)     		tx = 7647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21588134765625 × 213)
    floor (0.21588134765625 × 8192)
    floor (1768.5)     		ty = 1768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7647 / 1768 ti = "13/7647/1768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7647/1768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7647 ÷ 213
    7647 ÷ 8192     		x = 0.9334716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1768 ÷ 213
    1768 ÷ 8192     		y = 0.2158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9334716796875 × 2 - 1) × π
    0.866943359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.72358289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2158203125 × 2 - 1) × π
    0.568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78555363704785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72358289} λ = 2.72358289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78555363704785))-π/2
    2×atan(5.96288030534707)-π/2
    2×1.40463833927906-π/2
    2.80927667855812-1.57079632675     		φ = 1.23848035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72358289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.049805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23848035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.959697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7647 KachelY 1768 2.72358289 1.23848035 156.049805 70.959697
    Oben rechts KachelX + 1 7648 KachelY 1768 2.72434988 1.23848035 156.093750 70.959697
    Unten links KachelX 7647 KachelY + 1 1769 2.72358289 1.23823004 156.049805 70.945355
    Unten rechts KachelX + 1 7648 KachelY + 1 1769 2.72434988 1.23823004 156.093750 70.945355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23848035-1.23823004) × R
    0.000250309999999976 × 6371000     		dl = 1594.72500999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23848035-1.23823004) × R
    0.000250309999999976 × 6371000     		dr = 1594.72500999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72358289-2.72434988) × cos(1.23848035) × R
    0.000766990000000245 × 0.32623316950853 × 6371000     		do = 1594.13619377937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72358289-2.72434988) × cos(1.23823004) × R
    0.000766990000000245 × 0.326469774658391 × 6371000     		du = 1595.29236325655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23848035)-sin(1.23823004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32623316950853-0.326469774658391)×R²
    abs(2.72434988-2.72358289)×0.000236605149861291×R²
    0.000766990000000245×0.000236605149861291×6371000²
    0.000766990000000245×0.000236605149861291×40589641000000     		ar = 2543130.75703369m²