Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76469 / 58557
↖ ↑ ↗
← N 18.820517°
E 30.028381°		 ← 289.10 m → N 18.820517°
E 30.031128°		 →
↑
289.05 m
↓
↑
289.05 m
↓
N 18.817918°
E 30.028381°		 ← 289.10 m →
83 564 m²		 N 18.817918°
E 30.031128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583415985107422 y=0.446758270263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583415985107422 × 217)
    floor (0.583415985107422 × 131072)
    floor (76469.5)     		tx = 76469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446758270263672 × 217)
    floor (0.446758270263672 × 131072)
    floor (58557.5)     		ty = 58557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76469 / 58557 ti = "17/76469/58557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76469/58557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76469 ÷ 217
    76469 ÷ 131072     		x = 0.583412170410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58557 ÷ 217
    58557 ÷ 131072     		y = 0.446754455566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583412170410156 × 2 - 1) × π
    0.166824340820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.52409412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446754455566406 × 2 - 1) × π
    0.106491088867188 × 3.1415926535     		Φ = 0.334551622448372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52409412} λ = 0.52409412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.334551622448372))-π/2
    2×atan(1.39731372063688)-π/2
    2×0.949638159736578-π/2
    1.89927631947316-1.57079632675     		φ = 0.32847999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52409412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.028381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32847999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.820517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76469 KachelY 58557 0.52409412 0.32847999 30.028381 18.820517
    Oben rechts KachelX + 1 76470 KachelY 58557 0.52414206 0.32847999 30.031128 18.820517
    Unten links KachelX 76469 KachelY + 1 58558 0.52409412 0.32843462 30.028381 18.817918
    Unten rechts KachelX + 1 76470 KachelY + 1 58558 0.52414206 0.32843462 30.031128 18.817918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32847999-0.32843462) × R
    4.5369999999989e-05 × 6371000     		dl = 289.05226999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32847999-0.32843462) × R
    4.5369999999989e-05 × 6371000     		dr = 289.05226999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52409412-0.52414206) × cos(0.32847999) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.946533799100026 × 6371000     		do = 289.095786024947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52409412-0.52414206) × cos(0.32843462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.946548434699291 × 6371000     		du = 289.100256113683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32847999)-sin(0.32843462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946533799100026-0.946548434699291)×R²
    abs(0.52414206-0.52409412)×1.4635599264845e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4635599264845e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4635599264845e-05×40589641000000     		ar = 83564.439256912m²