Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76466 / 58603
↖ ↑ ↗
← N 18.700887°
E 30.020141°		 ← 289.30 m → N 18.700887°
E 30.022888°		 →
↑
289.24 m
↓
↑
289.24 m
↓
N 18.698286°
E 30.020141°		 ← 289.31 m →
83 679 m²		 N 18.698286°
E 30.022888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583393096923828 y=0.447109222412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583393096923828 × 217)
    floor (0.583393096923828 × 131072)
    floor (76466.5)     		tx = 76466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447109222412109 × 217)
    floor (0.447109222412109 × 131072)
    floor (58603.5)     		ty = 58603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76466 / 58603 ti = "17/76466/58603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76466/58603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76466 ÷ 217
    76466 ÷ 131072     		x = 0.583389282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58603 ÷ 217
    58603 ÷ 131072     		y = 0.447105407714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583389282226562 × 2 - 1) × π
    0.166778564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52395031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447105407714844 × 2 - 1) × π
    0.105789184570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.332346525065849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52395031} λ = 0.52395031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.332346525065849))-π/2
    2×atan(1.39423590250045)-π/2
    2×0.948594189611284-π/2
    1.89718837922257-1.57079632675     		φ = 0.32639205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52395031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.020141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32639205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.700887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76466 KachelY 58603 0.52395031 0.32639205 30.020141 18.700887
    Oben rechts KachelX + 1 76467 KachelY 58603 0.52399825 0.32639205 30.022888 18.700887
    Unten links KachelX 76466 KachelY + 1 58604 0.52395031 0.32634665 30.020141 18.698286
    Unten rechts KachelX + 1 76467 KachelY + 1 58604 0.52399825 0.32634665 30.022888 18.698286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32639205-0.32634665) × R
    4.53999999999732e-05 × 6371000     		dl = 289.24339999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32639205-0.32634665) × R
    4.53999999999732e-05 × 6371000     		dr = 289.24339999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52395031-0.52399825) × cos(0.32639205) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.947205314582862 × 6371000     		do = 289.300884138214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52395031-0.52399825) × cos(0.32634665) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.947219870102144 × 6371000     		du = 289.305329768461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32639205)-sin(0.32634665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947205314582862-0.947219870102144)×R²
    abs(0.52399825-0.52395031)×1.45555192815339e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45555192815339e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45555192815339e-05×40589641000000     		ar = 83679.014300087m²