Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76465 / 59343
↖ ↑ ↗
← N 16.765097°
E 30.017395°		 ← 292.38 m → N 16.765097°
E 30.020141°		 →
↑
292.43 m
↓
↑
292.43 m
↓
N 16.762468°
E 30.017395°		 ← 292.39 m →
85 502 m²		 N 16.762468°
E 30.020141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583385467529297 y=0.452754974365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583385467529297 × 217)
    floor (0.583385467529297 × 131072)
    floor (76465.5)     		tx = 76465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452754974365234 × 217)
    floor (0.452754974365234 × 131072)
    floor (59343.5)     		ty = 59343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76465 / 59343 ti = "17/76465/59343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76465/59343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76465 ÷ 217
    76465 ÷ 131072     		x = 0.583381652832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59343 ÷ 217
    59343 ÷ 131072     		y = 0.452751159667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583381652832031 × 2 - 1) × π
    0.166763305664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.52390238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452751159667969 × 2 - 1) × π
    0.0944976806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.296873219347008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52390238} λ = 0.52390238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.296873219347008))-π/2
    2×atan(1.34564468692104)-π/2
    2×0.931701239450847-π/2
    1.86340247890169-1.57079632675     		φ = 0.29260615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52390238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.017395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29260615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.765097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76465 KachelY 59343 0.52390238 0.29260615 30.017395 16.765097
    Oben rechts KachelX + 1 76466 KachelY 59343 0.52395031 0.29260615 30.020141 16.765097
    Unten links KachelX 76465 KachelY + 1 59344 0.52390238 0.29256025 30.017395 16.762468
    Unten rechts KachelX + 1 76466 KachelY + 1 59344 0.52395031 0.29256025 30.020141 16.762468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29260615-0.29256025) × R
    4.58999999999876e-05 × 6371000     		dl = 292.428899999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29260615-0.29256025) × R
    4.58999999999876e-05 × 6371000     		dr = 292.428899999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52390238-0.52395031) × cos(0.29260615) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.957495387761949 × 6371000     		do = 292.382735322805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52390238-0.52395031) × cos(0.29256025) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.957508626543065 × 6371000     		du = 292.386777943881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29260615)-sin(0.29256025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957495387761949-0.957508626543065)×R²
    abs(0.52395031-0.52390238)×1.32387811161427e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.32387811161427e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.32387811161427e-05×40589641000000     		ar = 85501.7527739851m²