Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76465 / 59151
↖ ↑ ↗
← N 17.269351°
E 30.017395°		 ← 291.60 m → N 17.269351°
E 30.020141°		 →
↑
291.66 m
↓
↑
291.66 m
↓
N 17.266728°
E 30.017395°		 ← 291.60 m →
85 049 m²		 N 17.266728°
E 30.020141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583385467529297 y=0.451290130615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583385467529297 × 217)
    floor (0.583385467529297 × 131072)
    floor (76465.5)     		tx = 76465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451290130615234 × 217)
    floor (0.451290130615234 × 131072)
    floor (59151.5)     		ty = 59151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76465 / 59151 ti = "17/76465/59151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76465/59151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76465 ÷ 217
    76465 ÷ 131072     		x = 0.583381652832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59151 ÷ 217
    59151 ÷ 131072     		y = 0.451286315917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583381652832031 × 2 - 1) × π
    0.166763305664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.52390238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451286315917969 × 2 - 1) × π
    0.0974273681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.306077104074059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52390238} λ = 0.52390238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.306077104074059))-π/2
    2×atan(1.35808701655296)-π/2
    2×0.936101677285019-π/2
    1.87220335457004-1.57079632675     		φ = 0.30140703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52390238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.017395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30140703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.269351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76465 KachelY 59151 0.52390238 0.30140703 30.017395 17.269351
    Oben rechts KachelX + 1 76466 KachelY 59151 0.52395031 0.30140703 30.020141 17.269351
    Unten links KachelX 76465 KachelY + 1 59152 0.52390238 0.30136125 30.017395 17.266728
    Unten rechts KachelX + 1 76466 KachelY + 1 59152 0.52395031 0.30136125 30.020141 17.266728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30140703-0.30136125) × R
    4.57799999999953e-05 × 6371000     		dl = 291.66437999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30140703-0.30136125) × R
    4.57799999999953e-05 × 6371000     		dr = 291.66437999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52390238-0.52395031) × cos(0.30140703) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.954919737810793 × 6371000     		do = 291.59622962515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52390238-0.52395031) × cos(0.30136125) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.954933327248658 × 6371000     		du = 291.600379323483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30140703)-sin(0.30136125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954919737810793-0.954933327248658)×R²
    abs(0.52395031-0.52390238)×1.35894378651136e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.35894378651136e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.35894378651136e-05×40589641000000     		ar = 85048.8386984126m²