Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76464 / 59185
↖ ↑ ↗
← N 17.180155°
E 30.014648°		 ← 291.80 m → N 17.180155°
E 30.017395°		 →
↑
291.79 m
↓
↑
291.79 m
↓
N 17.177531°
E 30.014648°		 ← 291.80 m →
85 145 m²		 N 17.177531°
E 30.017395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583377838134766 y=0.451549530029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583377838134766 × 217)
    floor (0.583377838134766 × 131072)
    floor (76464.5)     		tx = 76464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451549530029297 × 217)
    floor (0.451549530029297 × 131072)
    floor (59185.5)     		ty = 59185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76464 / 59185 ti = "17/76464/59185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76464/59185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76464 ÷ 217
    76464 ÷ 131072     		x = 0.5833740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59185 ÷ 217
    59185 ÷ 131072     		y = 0.451545715332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5833740234375 × 2 - 1) × π
    0.166748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52385444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451545715332031 × 2 - 1) × π
    0.0969085693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.304447249486977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52385444} λ = 0.52385444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.304447249486977))-π/2
    2×atan(1.35587533504859)-π/2
    2×0.935323299149161-π/2
    1.87064659829832-1.57079632675     		φ = 0.29985027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52385444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.014648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29985027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.180155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76464 KachelY 59185 0.52385444 0.29985027 30.014648 17.180155
    Oben rechts KachelX + 1 76465 KachelY 59185 0.52390238 0.29985027 30.017395 17.180155
    Unten links KachelX 76464 KachelY + 1 59186 0.52385444 0.29980447 30.014648 17.177531
    Unten rechts KachelX + 1 76465 KachelY + 1 59186 0.52390238 0.29980447 30.017395 17.177531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29985027-0.29980447) × R
    4.57999999999847e-05 × 6371000     		dl = 291.791799999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29985027-0.29980447) × R
    4.57999999999847e-05 × 6371000     		dr = 291.791799999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52385444-0.52390238) × cos(0.29985027) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.955380726657105 × 6371000     		do = 291.797865420793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52385444-0.52390238) × cos(0.29980447) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.955394253929043 × 6371000     		du = 291.801996997835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29985027)-sin(0.29980447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955380726657105-0.955394253929043)×R²
    abs(0.52390238-0.52385444)×1.35272719382629e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35272719382629e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35272719382629e-05×40589641000000     		ar = 85144.8271822414m²