Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7646 / 4210
↖ ↑ ↗
← N 65.494741°
W 11.997070°		 ← 1 013.42 m → N 65.494741°
W 11.975098°		 →
↑
1 013.56 m
↓
↑
1 013.56 m
↓
N 65.485626°
W 11.997070°		 ← 1 013.77 m →
1 027 339 m²		 N 65.485626°
W 11.975098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466705322265625 y=0.256988525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466705322265625 × 214)
    floor (0.466705322265625 × 16384)
    floor (7646.5)     		tx = 7646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256988525390625 × 214)
    floor (0.256988525390625 × 16384)
    floor (4210.5)     		ty = 4210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7646 / 4210 ti = "14/7646/4210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7646/4210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7646 ÷ 214
    7646 ÷ 16384     		x = 0.4666748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4210 ÷ 214
    4210 ÷ 16384     		y = 0.2569580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4666748046875 × 2 - 1) × π
    -0.066650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20938838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2569580078125 × 2 - 1) × π
    0.486083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.52707787429651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20938838} λ = -0.20938838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52707787429651))-π/2
    2×atan(4.60470162680016)-π/2
    2×1.35694760363539-π/2
    2.71389520727078-1.57079632675     		φ = 1.14309888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20938838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.997070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14309888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.494741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7646 KachelY 4210 -0.20938838 1.14309888 -11.997070 65.494741
    Oben rechts KachelX + 1 7647 KachelY 4210 -0.20900488 1.14309888 -11.975098 65.494741
    Unten links KachelX 7646 KachelY + 1 4211 -0.20938838 1.14293979 -11.997070 65.485626
    Unten rechts KachelX + 1 7647 KachelY + 1 4211 -0.20900488 1.14293979 -11.975098 65.485626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14309888-1.14293979) × R
    0.000159089999999917 × 6371000     		dl = 1013.56238999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14309888-1.14293979) × R
    0.000159089999999917 × 6371000     		dr = 1013.56238999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20938838--0.20900488) × cos(1.14309888) × R
    0.000383500000000009 × 0.41477675720618 × 6371000     		do = 1013.4151331816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20938838--0.20900488) × cos(1.14293979) × R
    0.000383500000000009 × 0.414921511639565 × 6371000     		du = 1013.76880857647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14309888)-sin(1.14293979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41477675720618-0.414921511639565)×R²
    abs(-0.20900488--0.20938838)×0.000144754433384631×R²
    0.000383500000000009×0.000144754433384631×6371000²
    0.000383500000000009×0.000144754433384631×40589641000000     		ar = 1027338.70265529m²