Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76459 / 57995
↖ ↑ ↗
← N 20.275080°
E 30.000915°		 ← 286.50 m → N 20.275080°
E 30.003662°		 →
↑
286.50 m
↓
↑
286.50 m
↓
N 20.272503°
E 30.000915°		 ← 286.51 m →
82 084 m²		 N 20.272503°
E 30.003662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583339691162109 y=0.442470550537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583339691162109 × 217)
    floor (0.583339691162109 × 131072)
    floor (76459.5)     		tx = 76459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442470550537109 × 217)
    floor (0.442470550537109 × 131072)
    floor (57995.5)     		ty = 57995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76459 / 57995 ti = "17/76459/57995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76459/57995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76459 ÷ 217
    76459 ÷ 131072     		x = 0.583335876464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57995 ÷ 217
    57995 ÷ 131072     		y = 0.442466735839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583335876464844 × 2 - 1) × π
    0.166671752929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.52361475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442466735839844 × 2 - 1) × π
    0.115066528320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.361492160034843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52361475} λ = 0.52361475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.361492160034843))-π/2
    2×atan(1.43546976790724)-π/2
    2×0.962331611605882-π/2
    1.92466322321176-1.57079632675     		φ = 0.35386690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52361475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.000915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35386690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.275080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76459 KachelY 57995 0.52361475 0.35386690 30.000915 20.275080
    Oben rechts KachelX + 1 76460 KachelY 57995 0.52366269 0.35386690 30.003662 20.275080
    Unten links KachelX 76459 KachelY + 1 57996 0.52361475 0.35382193 30.000915 20.272503
    Unten rechts KachelX + 1 76460 KachelY + 1 57996 0.52366269 0.35382193 30.003662 20.272503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35386690-0.35382193) × R
    4.49699999999775e-05 × 6371000     		dl = 286.503869999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35386690-0.35382193) × R
    4.49699999999775e-05 × 6371000     		dr = 286.503869999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52361475-0.52366269) × cos(0.35386690) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938039741448501 × 6371000     		do = 286.501482181129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52361475-0.52366269) × cos(0.35382193) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938055323850445 × 6371000     		du = 286.506241447774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35386690)-sin(0.35382193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938039741448501-0.938055323850445)×R²
    abs(0.52366269-0.52361475)×1.5582401943548e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5582401943548e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5582401943548e-05×40589641000000     		ar = 82084.4651934977m²