Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76458 / 58530
↖ ↑ ↗
← N 18.890695°
E 29.998169°		 ← 288.91 m → N 18.890695°
E 30.000915°		 →
↑
288.92 m
↓
↑
288.92 m
↓
N 18.888097°
E 29.998169°		 ← 288.92 m →
83 475 m²		 N 18.888097°
E 30.000915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583332061767578 y=0.446552276611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583332061767578 × 217)
    floor (0.583332061767578 × 131072)
    floor (76458.5)     		tx = 76458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446552276611328 × 217)
    floor (0.446552276611328 × 131072)
    floor (58530.5)     		ty = 58530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76458 / 58530 ti = "17/76458/58530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76458/58530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76458 ÷ 217
    76458 ÷ 131072     		x = 0.583328247070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58530 ÷ 217
    58530 ÷ 131072     		y = 0.446548461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583328247070312 × 2 - 1) × π
    0.166656494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52356682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446548461914062 × 2 - 1) × π
    0.106903076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.335845918738113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52356682} λ = 0.52356682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.335845918738113))-π/2
    2×atan(1.39912342949821)-π/2
    2×0.950250579309413-π/2
    1.90050115861883-1.57079632675     		φ = 0.32970483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52356682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.998169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32970483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.890695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76458 KachelY 58530 0.52356682 0.32970483 29.998169 18.890695
    Oben rechts KachelX + 1 76459 KachelY 58530 0.52361475 0.32970483 30.000915 18.890695
    Unten links KachelX 76458 KachelY + 1 58531 0.52356682 0.32965948 29.998169 18.888097
    Unten rechts KachelX + 1 76459 KachelY + 1 58531 0.52361475 0.32965948 30.000915 18.888097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32970483-0.32965948) × R
    4.53499999999996e-05 × 6371000     		dl = 288.924849999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32970483-0.32965948) × R
    4.53499999999996e-05 × 6371000     		dr = 288.924849999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52356682-0.52361475) × cos(0.32970483) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.946137950095565 × 6371000     		do = 288.914605101397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52356682-0.52361475) × cos(0.32965948) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.946152631809648 × 6371000     		du = 288.919088339414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32970483)-sin(0.32965948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946137950095565-0.946152631809648)×R²
    abs(0.52361475-0.52356682)×1.46817140838085e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46817140838085e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46817140838085e-05×40589641000000     		ar = 83475.2566154503m²