Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76457 / 57930
↖ ↑ ↗
← N 20.442455°
E 29.995422°		 ← 286.19 m → N 20.442455°
E 29.998169°		 →
↑
286.19 m
↓
↑
286.19 m
↓
N 20.439881°
E 29.995422°		 ← 286.20 m →
81 904 m²		 N 20.439881°
E 29.998169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583324432373047 y=0.441974639892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583324432373047 × 217)
    floor (0.583324432373047 × 131072)
    floor (76457.5)     		tx = 76457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441974639892578 × 217)
    floor (0.441974639892578 × 131072)
    floor (57930.5)     		ty = 57930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76457 / 57930 ti = "17/76457/57930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76457/57930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76457 ÷ 217
    76457 ÷ 131072     		x = 0.583320617675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57930 ÷ 217
    57930 ÷ 131072     		y = 0.441970825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583320617675781 × 2 - 1) × π
    0.166641235351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.52351888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441970825195312 × 2 - 1) × π
    0.116058349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.364608058510147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52351888} λ = 0.52351888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.364608058510147))-π/2
    2×atan(1.43994952157279)-π/2
    2×0.963792239134154-π/2
    1.92758447826831-1.57079632675     		φ = 0.35678815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52351888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.995422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35678815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.442455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76457 KachelY 57930 0.52351888 0.35678815 29.995422 20.442455
    Oben rechts KachelX + 1 76458 KachelY 57930 0.52356682 0.35678815 29.998169 20.442455
    Unten links KachelX 76457 KachelY + 1 57931 0.52351888 0.35674323 29.995422 20.439881
    Unten rechts KachelX + 1 76458 KachelY + 1 57931 0.52356682 0.35674323 29.998169 20.439881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35678815-0.35674323) × R
    4.49200000000038e-05 × 6371000     		dl = 286.185320000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35678815-0.35674323) × R
    4.49200000000038e-05 × 6371000     		dr = 286.185320000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52351888-0.52356682) × cos(0.35678815) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.937023446386236 × 6371000     		do = 286.191079509679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52351888-0.52356682) × cos(0.35674323) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.937039134490302 × 6371000     		du = 286.195871060472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35678815)-sin(0.35674323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937023446386236-0.937039134490302)×R²
    abs(0.52356682-0.52351888)×1.56881040660473e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56881040660473e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56881040660473e-05×40589641000000     		ar = 81904.3713202121m²