Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76455 / 58627
↖ ↑ ↗
← N 18.638438°
E 29.989929°		 ← 289.35 m → N 18.638438°
E 29.992676°		 →
↑
289.43 m
↓
↑
289.43 m
↓
N 18.635835°
E 29.989929°		 ← 289.35 m →
83 748 m²		 N 18.635835°
E 29.992676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583309173583984 y=0.447292327880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583309173583984 × 217)
    floor (0.583309173583984 × 131072)
    floor (76455.5)     		tx = 76455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447292327880859 × 217)
    floor (0.447292327880859 × 131072)
    floor (58627.5)     		ty = 58627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76455 / 58627 ti = "17/76455/58627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76455/58627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76455 ÷ 217
    76455 ÷ 131072     		x = 0.583305358886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58627 ÷ 217
    58627 ÷ 131072     		y = 0.447288513183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583305358886719 × 2 - 1) × π
    0.166610717773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.52342301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447288513183594 × 2 - 1) × π
    0.105422973632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.331196039474968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52342301} λ = 0.52342301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.331196039474968))-π/2
    2×atan(1.39263277654781)-π/2
    2×0.94804921617855-π/2
    1.8960984323571-1.57079632675     		φ = 0.32530211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52342301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.989929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32530211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.638438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76455 KachelY 58627 0.52342301 0.32530211 29.989929 18.638438
    Oben rechts KachelX + 1 76456 KachelY 58627 0.52347094 0.32530211 29.992676 18.638438
    Unten links KachelX 76455 KachelY + 1 58628 0.52342301 0.32525668 29.989929 18.635835
    Unten rechts KachelX + 1 76456 KachelY + 1 58628 0.52347094 0.32525668 29.992676 18.635835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32530211-0.32525668) × R
    4.54299999999574e-05 × 6371000     		dl = 289.434529999729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32530211-0.32525668) × R
    4.54299999999574e-05 × 6371000     		dr = 289.434529999729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52342301-0.52347094) × cos(0.32530211) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.947554216792733 × 6371000     		do = 289.347079175066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52342301-0.52347094) × cos(0.32525668) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.947568735018757 × 6371000     		du = 289.351512490037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32530211)-sin(0.32525668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947554216792733-0.947568735018757)×R²
    abs(0.52347094-0.52342301)×1.45182260238297e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.45182260238297e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.45182260238297e-05×40589641000000     		ar = 83747.6774594013m²