Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76453 / 58597
↖ ↑ ↗
← N 18.716496°
E 29.984436°		 ← 289.27 m → N 18.716496°
E 29.987183°		 →
↑
289.31 m
↓
↑
289.31 m
↓
N 18.713894°
E 29.984436°		 ← 289.28 m →
83 690 m²		 N 18.713894°
E 29.987183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583293914794922 y=0.447063446044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583293914794922 × 217)
    floor (0.583293914794922 × 131072)
    floor (76453.5)     		tx = 76453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447063446044922 × 217)
    floor (0.447063446044922 × 131072)
    floor (58597.5)     		ty = 58597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76453 / 58597 ti = "17/76453/58597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76453/58597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76453 ÷ 217
    76453 ÷ 131072     		x = 0.583290100097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58597 ÷ 217
    58597 ÷ 131072     		y = 0.447059631347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583290100097656 × 2 - 1) × π
    0.166580200195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.52332713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447059631347656 × 2 - 1) × π
    0.105880737304688 × 3.1415926535     		Φ = 0.33263414646357
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52332713} λ = 0.52332713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.33263414646357))-π/2
    2×atan(1.39463697225483)-π/2
    2×0.948730401586953-π/2
    1.89746080317391-1.57079632675     		φ = 0.32666448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52332713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.984436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32666448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.716496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76453 KachelY 58597 0.52332713 0.32666448 29.984436 18.716496
    Oben rechts KachelX + 1 76454 KachelY 58597 0.52337507 0.32666448 29.987183 18.716496
    Unten links KachelX 76453 KachelY + 1 58598 0.52332713 0.32661907 29.984436 18.713894
    Unten rechts KachelX + 1 76454 KachelY + 1 58598 0.52337507 0.32661907 29.987183 18.713894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32666448-0.32661907) × R
    4.5409999999968e-05 × 6371000     		dl = 289.307109999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32666448-0.32661907) × R
    4.5409999999968e-05 × 6371000     		dr = 289.307109999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52332713-0.52337507) × cos(0.32666448) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.947117930842478 × 6371000     		do = 289.274194895313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52332713-0.52337507) × cos(0.32661907) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.947132501285076 × 6371000     		du = 289.278645083526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32666448)-sin(0.32661907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947117930842478-0.947132501285076)×R²
    abs(0.52337507-0.52332713)×1.45704425983384e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.45704425983384e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.45704425983384e-05×40589641000000     		ar = 83689.7250726653m²