Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76452 / 59380
↖ ↑ ↗
← N 16.667769°
E 29.981690°		 ← 292.53 m → N 16.667769°
E 29.984436°		 →
↑
292.56 m
↓
↑
292.56 m
↓
N 16.665138°
E 29.981690°		 ← 292.54 m →
85 583 m²		 N 16.665138°
E 29.984436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583286285400391 y=0.453037261962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583286285400391 × 217)
    floor (0.583286285400391 × 131072)
    floor (76452.5)     		tx = 76452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453037261962891 × 217)
    floor (0.453037261962891 × 131072)
    floor (59380.5)     		ty = 59380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76452 / 59380 ti = "17/76452/59380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76452/59380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76452 ÷ 217
    76452 ÷ 131072     		x = 0.583282470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59380 ÷ 217
    59380 ÷ 131072     		y = 0.453033447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583282470703125 × 2 - 1) × π
    0.16656494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52327920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453033447265625 × 2 - 1) × π
    0.09393310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.295099554061066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52327920} λ = 0.52327920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.295099554061066))-π/2
    2×atan(1.3432600790259)-π/2
    2×0.930851884443097-π/2
    1.86170376888619-1.57079632675     		φ = 0.29090744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52327920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.981690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29090744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.667769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76452 KachelY 59380 0.52327920 0.29090744 29.981690 16.667769
    Oben rechts KachelX + 1 76453 KachelY 59380 0.52332713 0.29090744 29.984436 16.667769
    Unten links KachelX 76452 KachelY + 1 59381 0.52327920 0.29086152 29.981690 16.665138
    Unten rechts KachelX + 1 76453 KachelY + 1 59381 0.52332713 0.29086152 29.984436 16.665138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29090744-0.29086152) × R
    4.59200000000326e-05 × 6371000     		dl = 292.556320000208m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29090744-0.29086152) × R
    4.59200000000326e-05 × 6371000     		dr = 292.556320000208m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52327920-0.52332713) × cos(0.29090744) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.957983996529495 × 6371000     		do = 292.531937887261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52327920-0.52332713) × cos(0.29086152) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.957997166369913 × 6371000     		du = 292.535959456466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29090744)-sin(0.29086152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957983996529495-0.957997166369913)×R²
    abs(0.52332713-0.52327920)×1.31698404175484e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.31698404175484e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.31698404175484e-05×40589641000000     		ar = 85582.6555136501m²