Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76452 / 57956
↖ ↑ ↗
← N 20.375527°
E 29.981690°		 ← 286.26 m → N 20.375527°
E 29.984436°		 →
↑
286.31 m
↓
↑
286.31 m
↓
N 20.372952°
E 29.981690°		 ← 286.26 m →
81 959 m²		 N 20.372952°
E 29.984436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583286285400391 y=0.442173004150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583286285400391 × 217)
    floor (0.583286285400391 × 131072)
    floor (76452.5)     		tx = 76452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442173004150391 × 217)
    floor (0.442173004150391 × 131072)
    floor (57956.5)     		ty = 57956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76452 / 57956 ti = "17/76452/57956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76452/57956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76452 ÷ 217
    76452 ÷ 131072     		x = 0.583282470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57956 ÷ 217
    57956 ÷ 131072     		y = 0.442169189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583282470703125 × 2 - 1) × π
    0.16656494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52327920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442169189453125 × 2 - 1) × π
    0.11566162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.363361699120026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52327920} λ = 0.52327920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.363361699120026))-π/2
    2×atan(1.43815594491801)-π/2
    2×0.963208178166658-π/2
    1.92641635633332-1.57079632675     		φ = 0.35562003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52327920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.981690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35562003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.375527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76452 KachelY 57956 0.52327920 0.35562003 29.981690 20.375527
    Oben rechts KachelX + 1 76453 KachelY 57956 0.52332713 0.35562003 29.984436 20.375527
    Unten links KachelX 76452 KachelY + 1 57957 0.52327920 0.35557509 29.981690 20.372952
    Unten rechts KachelX + 1 76453 KachelY + 1 57957 0.52332713 0.35557509 29.984436 20.372952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35562003-0.35557509) × R
    4.49399999999933e-05 × 6371000     		dl = 286.312739999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35562003-0.35557509) × R
    4.49399999999933e-05 × 6371000     		dr = 286.312739999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52327920-0.52332713) × cos(0.35562003) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.937430792145911 × 6371000     		do = 286.255769673696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52327920-0.52332713) × cos(0.35557509) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.937446438034017 × 6371000     		du = 286.260547333849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35562003)-sin(0.35557509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937430792145911-0.937446438034017)×R²
    abs(0.52332713-0.52327920)×1.56458881056531e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.56458881056531e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.56458881056531e-05×40589641000000     		ar = 81959.357722402m²