Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76451 / 58527
↖ ↑ ↗
← N 18.898491°
E 29.978943°		 ← 288.96 m → N 18.898491°
E 29.981690°		 →
↑
288.92 m
↓
↑
288.92 m
↓
N 18.895893°
E 29.978943°		 ← 288.97 m →
83 489 m²		 N 18.895893°
E 29.981690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583278656005859 y=0.446529388427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583278656005859 × 217)
    floor (0.583278656005859 × 131072)
    floor (76451.5)     		tx = 76451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446529388427734 × 217)
    floor (0.446529388427734 × 131072)
    floor (58527.5)     		ty = 58527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76451 / 58527 ti = "17/76451/58527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76451/58527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76451 ÷ 217
    76451 ÷ 131072     		x = 0.583274841308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58527 ÷ 217
    58527 ÷ 131072     		y = 0.446525573730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583274841308594 × 2 - 1) × π
    0.166549682617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.52323126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446525573730469 × 2 - 1) × π
    0.106948852539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.335989729436974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52323126} λ = 0.52323126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.335989729436974))-π/2
    2×atan(1.39932465288508)-π/2
    2×0.950318610105279-π/2
    1.90063722021056-1.57079632675     		φ = 0.32984089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52323126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.978943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32984089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.898491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76451 KachelY 58527 0.52323126 0.32984089 29.978943 18.898491
    Oben rechts KachelX + 1 76452 KachelY 58527 0.52327920 0.32984089 29.981690 18.898491
    Unten links KachelX 76451 KachelY + 1 58528 0.52323126 0.32979554 29.978943 18.895893
    Unten rechts KachelX + 1 76452 KachelY + 1 58528 0.52327920 0.32979554 29.981690 18.895893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32984089-0.32979554) × R
    4.53499999999996e-05 × 6371000     		dl = 288.924849999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32984089-0.32979554) × R
    4.53499999999996e-05 × 6371000     		dr = 288.924849999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52323126-0.52327920) × cos(0.32984089) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.946093890039417 × 6371000     		do = 288.961426475247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52323126-0.52327920) × cos(0.32979554) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.946108577591385 × 6371000     		du = 288.965912431676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32984089)-sin(0.32979554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946093890039417-0.946108577591385)×R²
    abs(0.52327920-0.52323126)×1.46875519680956e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.46875519680956e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.46875519680956e-05×40589641000000     		ar = 83488.7848665992m²