Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7645 / 1755
↖ ↑ ↗
← N 71.145194°
E155.961914°		 ← 1 579.17 m → N 71.145194°
E156.005859°		 →
↑
1 579.69 m
↓
↑
1 579.69 m
↓
N 71.130988°
E155.961914°		 ← 1 580.32 m →
2 495 509 m²		 N 71.130988°
E156.005859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.93328857421875 y=0.21429443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.93328857421875 × 213)
    floor (0.93328857421875 × 8192)
    floor (7645.5)     		tx = 7645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21429443359375 × 213)
    floor (0.21429443359375 × 8192)
    floor (1755.5)     		ty = 1755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7645 / 1755 ti = "13/7645/1755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7645/1755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7645 ÷ 213
    7645 ÷ 8192     		x = 0.9332275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1755 ÷ 213
    1755 ÷ 8192     		y = 0.2142333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9332275390625 × 2 - 1) × π
    0.866455078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.72204891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2142333984375 × 2 - 1) × π
    0.571533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79552451216882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72204891} λ = 2.72204891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79552451216882))-π/2
    2×atan(6.02263283771147)-π/2
    2×1.40625711078198-π/2
    2.81251422156396-1.57079632675     		φ = 1.24171789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72204891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.961914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24171789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.145194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7645 KachelY 1755 2.72204891 1.24171789 155.961914 71.145194
    Oben rechts KachelX + 1 7646 KachelY 1755 2.72281590 1.24171789 156.005859 71.145194
    Unten links KachelX 7645 KachelY + 1 1756 2.72204891 1.24146994 155.961914 71.130988
    Unten rechts KachelX + 1 7646 KachelY + 1 1756 2.72281590 1.24146994 156.005859 71.130988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24171789-1.24146994) × R
    0.000247950000000108 × 6371000     		dl = 1579.68945000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24171789-1.24146994) × R
    0.000247950000000108 × 6371000     		dr = 1579.68945000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72204891-2.72281590) × cos(1.24171789) × R
    0.000766990000000245 × 0.32317105310259 × 6371000     		do = 1579.17318250855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72204891-2.72281590) × cos(1.24146994) × R
    0.000766990000000245 × 0.323405688309846 × 6371000     		du = 1580.3197258744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24171789)-sin(1.24146994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32317105310259-0.323405688309846)×R²
    abs(2.72281590-2.72204891)×0.000234635207255141×R²
    0.000766990000000245×0.000234635207255141×6371000²
    0.000766990000000245×0.000234635207255141×40589641000000     		ar = 2495508.82014648m²