Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76443 / 58363
↖ ↑ ↗
← N 19.324103°
E 29.956970°		 ← 288.22 m → N 19.324103°
E 29.959717°		 →
↑
288.16 m
↓
↑
288.16 m
↓
N 19.321511°
E 29.956970°		 ← 288.22 m →
83 054 m²		 N 19.321511°
E 29.959717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583217620849609 y=0.445278167724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583217620849609 × 217)
    floor (0.583217620849609 × 131072)
    floor (76443.5)     		tx = 76443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445278167724609 × 217)
    floor (0.445278167724609 × 131072)
    floor (58363.5)     		ty = 58363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76443 / 58363 ti = "17/76443/58363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76443/58363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76443 ÷ 217
    76443 ÷ 131072     		x = 0.583213806152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58363 ÷ 217
    58363 ÷ 131072     		y = 0.445274353027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583213806152344 × 2 - 1) × π
    0.166427612304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.52284776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445274353027344 × 2 - 1) × π
    0.109451293945312 × 3.1415926535     		Φ = 0.343851380974663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52284776} λ = 0.52284776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.343851380974663))-π/2
    2×atan(1.41036901226309)-π/2
    2×0.954032775367862-π/2
    1.90806555073572-1.57079632675     		φ = 0.33726922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52284776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.956970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33726922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.324103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76443 KachelY 58363 0.52284776 0.33726922 29.956970 19.324103
    Oben rechts KachelX + 1 76444 KachelY 58363 0.52289570 0.33726922 29.959717 19.324103
    Unten links KachelX 76443 KachelY + 1 58364 0.52284776 0.33722399 29.956970 19.321511
    Unten rechts KachelX + 1 76444 KachelY + 1 58364 0.52289570 0.33722399 29.959717 19.321511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33726922-0.33722399) × R
    4.52300000000072e-05 × 6371000     		dl = 288.160330000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33726922-0.33722399) × R
    4.52300000000072e-05 × 6371000     		dr = 288.160330000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52284776-0.52289570) × cos(0.33726922) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943661829144248 × 6371000     		do = 288.218612475946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52284776-0.52289570) × cos(0.33722399) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943676795301449 × 6371000     		du = 288.223183525585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33726922)-sin(0.33722399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943661829144248-0.943676795301449)×R²
    abs(0.52289570-0.52284776)×1.49661572010906e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49661572010906e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49661572010906e-05×40589641000000     		ar = 83053.829094984m²