Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76433 / 57967
↖ ↑ ↗
← N 20.347202°
E 29.929505°		 ← 286.31 m → N 20.347202°
E 29.932251°		 →
↑
286.31 m
↓
↑
286.31 m
↓
N 20.344627°
E 29.929505°		 ← 286.31 m →
81 974 m²		 N 20.344627°
E 29.932251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583141326904297 y=0.442256927490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583141326904297 × 217)
    floor (0.583141326904297 × 131072)
    floor (76433.5)     		tx = 76433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442256927490234 × 217)
    floor (0.442256927490234 × 131072)
    floor (57967.5)     		ty = 57967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76433 / 57967 ti = "17/76433/57967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76433/57967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76433 ÷ 217
    76433 ÷ 131072     		x = 0.583137512207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57967 ÷ 217
    57967 ÷ 131072     		y = 0.442253112792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583137512207031 × 2 - 1) × π
    0.166275024414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.52236840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442253112792969 × 2 - 1) × π
    0.115493774414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.362834393224205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52236840} λ = 0.52236840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.362834393224205))-π/2
    2×atan(1.43739779671472)-π/2
    2×0.962960999095395-π/2
    1.92592199819079-1.57079632675     		φ = 0.35512567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52236840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.929505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35512567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.347202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76433 KachelY 57967 0.52236840 0.35512567 29.929505 20.347202
    Oben rechts KachelX + 1 76434 KachelY 57967 0.52241633 0.35512567 29.932251 20.347202
    Unten links KachelX 76433 KachelY + 1 57968 0.52236840 0.35508073 29.929505 20.344627
    Unten rechts KachelX + 1 76434 KachelY + 1 57968 0.52241633 0.35508073 29.932251 20.344627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35512567-0.35508073) × R
    4.49399999999933e-05 × 6371000     		dl = 286.312739999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35512567-0.35508073) × R
    4.49399999999933e-05 × 6371000     		dr = 286.312739999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52236840-0.52241633) × cos(0.35512567) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.937602799734163 × 6371000     		do = 286.308294260683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52236840-0.52241633) × cos(0.35508073) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.937618424793717 × 6371000     		du = 286.313065560587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35512567)-sin(0.35508073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937602799734163-0.937618424793717)×R²
    abs(0.52241633-0.52236840)×1.56250595536589e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.56250595536589e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.56250595536589e-05×40589641000000     		ar = 81974.3952703079m²