Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76430 / 57950
↖ ↑ ↗
← N 20.390974°
E 29.921264°		 ← 286.29 m → N 20.390974°
E 29.924011°		 →
↑
286.25 m
↓
↑
286.25 m
↓
N 20.388400°
E 29.921264°		 ← 286.29 m →
81 950 m²		 N 20.388400°
E 29.924011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583118438720703 y=0.442127227783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583118438720703 × 217)
    floor (0.583118438720703 × 131072)
    floor (76430.5)     		tx = 76430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442127227783203 × 217)
    floor (0.442127227783203 × 131072)
    floor (57950.5)     		ty = 57950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76430 / 57950 ti = "17/76430/57950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76430/57950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76430 ÷ 217
    76430 ÷ 131072     		x = 0.583114624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57950 ÷ 217
    57950 ÷ 131072     		y = 0.442123413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583114624023438 × 2 - 1) × π
    0.166229248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52222458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442123413085938 × 2 - 1) × π
    0.115753173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.363649320517746
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52222458} λ = 0.52222458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.363649320517746))-π/2
    2×atan(1.43856964883322)-π/2
    2×0.96334298399245-π/2
    1.9266859679849-1.57079632675     		φ = 0.35588964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52222458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.921264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35588964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.390974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76430 KachelY 57950 0.52222458 0.35588964 29.921264 20.390974
    Oben rechts KachelX + 1 76431 KachelY 57950 0.52227252 0.35588964 29.924011 20.390974
    Unten links KachelX 76430 KachelY + 1 57951 0.52222458 0.35584471 29.921264 20.388400
    Unten rechts KachelX + 1 76431 KachelY + 1 57951 0.52227252 0.35584471 29.924011 20.388400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35588964-0.35584471) × R
    4.49299999999986e-05 × 6371000     		dl = 286.249029999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35588964-0.35584471) × R
    4.49299999999986e-05 × 6371000     		dr = 286.249029999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52222458-0.52227252) × cos(0.35588964) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.937336887513105 × 6371000     		do = 286.286812497799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52222458-0.52227252) × cos(0.35584471) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.937352541275082 × 6371000     		du = 286.291593559635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35588964)-sin(0.35584471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937336887513105-0.937352541275082)×R²
    abs(0.52227252-0.52222458)×1.56537619766528e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56537619766528e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56537619766528e-05×40589641000000     		ar = 81950.0066802133m²