Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76428 / 60028
↖ ↑ ↗
← N 14.955399°
E 29.915771°		 ← 295.08 m → N 14.955399°
E 29.918518°		 →
↑
295.04 m
↓
↑
295.04 m
↓
N 14.952746°
E 29.915771°		 ← 295.08 m →
87 061 m²		 N 14.952746°
E 29.918518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583103179931641 y=0.457981109619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583103179931641 × 217)
    floor (0.583103179931641 × 131072)
    floor (76428.5)     		tx = 76428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457981109619141 × 217)
    floor (0.457981109619141 × 131072)
    floor (60028.5)     		ty = 60028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76428 / 60028 ti = "17/76428/60028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76428/60028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76428 ÷ 217
    76428 ÷ 131072     		x = 0.583099365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60028 ÷ 217
    60028 ÷ 131072     		y = 0.457977294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583099365234375 × 2 - 1) × π
    0.16619873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52212871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457977294921875 × 2 - 1) × π
    0.08404541015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.264036443107269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52212871} λ = 0.52212871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.264036443107269))-π/2
    2×atan(1.30217565076312)-π/2
    2×0.915908642987922-π/2
    1.83181728597584-1.57079632675     		φ = 0.26102096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52212871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.915771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26102096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.955399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76428 KachelY 60028 0.52212871 0.26102096 29.915771 14.955399
    Oben rechts KachelX + 1 76429 KachelY 60028 0.52217665 0.26102096 29.918518 14.955399
    Unten links KachelX 76428 KachelY + 1 60029 0.52212871 0.26097465 29.915771 14.952746
    Unten rechts KachelX + 1 76429 KachelY + 1 60029 0.52217665 0.26097465 29.918518 14.952746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26102096-0.26097465) × R
    4.63100000000494e-05 × 6371000     		dl = 295.041010000315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26102096-0.26097465) × R
    4.63100000000494e-05 × 6371000     		dr = 295.041010000315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52212871-0.52217665) × cos(0.26102096) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.966127005557094 × 6371000     		do = 295.080055606066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52212871-0.52217665) × cos(0.26097465) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.966138955606803 × 6371000     		du = 295.083705458841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26102096)-sin(0.26097465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966127005557094-0.966138955606803)×R²
    abs(0.52217665-0.52212871)×1.19500497089975e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.19500497089975e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.19500497089975e-05×40589641000000     		ar = 87061.2560806273m²