Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76427 / 58007
↖ ↑ ↗
← N 20.244160°
E 29.913025°		 ← 286.56 m → N 20.244160°
E 29.915771°		 →
↑
286.50 m
↓
↑
286.50 m
↓
N 20.241583°
E 29.913025°		 ← 286.56 m →
82 101 m²		 N 20.241583°
E 29.915771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583095550537109 y=0.442562103271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583095550537109 × 217)
    floor (0.583095550537109 × 131072)
    floor (76427.5)     		tx = 76427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442562103271484 × 217)
    floor (0.442562103271484 × 131072)
    floor (58007.5)     		ty = 58007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76427 / 58007 ti = "17/76427/58007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76427/58007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76427 ÷ 217
    76427 ÷ 131072     		x = 0.583091735839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58007 ÷ 217
    58007 ÷ 131072     		y = 0.442558288574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583091735839844 × 2 - 1) × π
    0.166183471679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.52208077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442558288574219 × 2 - 1) × π
    0.114883422851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.360916917239403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52208077} λ = 0.52208077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.360916917239403))-π/2
    2×atan(1.43464426172119)-π/2
    2×0.962061784424615-π/2
    1.92412356884923-1.57079632675     		φ = 0.35332724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52208077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.913025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35332724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.244160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76427 KachelY 58007 0.52208077 0.35332724 29.913025 20.244160
    Oben rechts KachelX + 1 76428 KachelY 58007 0.52212871 0.35332724 29.915771 20.244160
    Unten links KachelX 76427 KachelY + 1 58008 0.52208077 0.35328227 29.913025 20.241583
    Unten rechts KachelX + 1 76428 KachelY + 1 58008 0.52212871 0.35328227 29.915771 20.241583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35332724-0.35328227) × R
    4.49699999999775e-05 × 6371000     		dl = 286.503869999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35332724-0.35328227) × R
    4.49699999999775e-05 × 6371000     		dr = 286.503869999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52208077-0.52212871) × cos(0.35332724) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.938226611981334 × 6371000     		do = 286.558557252568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52208077-0.52212871) × cos(0.35328227) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.938242171615994 × 6371000     		du = 286.563309565498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35332724)-sin(0.35328227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938226611981334-0.938242171615994)×R²
    abs(0.52212871-0.52208077)×1.555963465949e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.555963465949e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.555963465949e-05×40589641000000     		ar = 82100.8164262786m²