Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76424 / 58377
↖ ↑ ↗
← N 19.287813°
E 29.904785°		 ← 288.28 m → N 19.287813°
E 29.907532°		 →
↑
288.29 m
↓
↑
288.29 m
↓
N 19.285221°
E 29.904785°		 ← 288.29 m →
83 109 m²		 N 19.285221°
E 29.907532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583072662353516 y=0.445384979248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583072662353516 × 217)
    floor (0.583072662353516 × 131072)
    floor (76424.5)     		tx = 76424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445384979248047 × 217)
    floor (0.445384979248047 × 131072)
    floor (58377.5)     		ty = 58377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76424 / 58377 ti = "17/76424/58377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76424/58377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76424 ÷ 217
    76424 ÷ 131072     		x = 0.58306884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58377 ÷ 217
    58377 ÷ 131072     		y = 0.445381164550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58306884765625 × 2 - 1) × π
    0.1661376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52193696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445381164550781 × 2 - 1) × π
    0.109237670898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.343180264379982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52193696} λ = 0.52193696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.343180264379982))-π/2
    2×atan(1.40942280775663)-π/2
    2×0.953716086668985-π/2
    1.90743217333797-1.57079632675     		φ = 0.33663585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52193696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.904785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33663585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.287813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76424 KachelY 58377 0.52193696 0.33663585 29.904785 19.287813
    Oben rechts KachelX + 1 76425 KachelY 58377 0.52198490 0.33663585 29.907532 19.287813
    Unten links KachelX 76424 KachelY + 1 58378 0.52193696 0.33659060 29.904785 19.285221
    Unten rechts KachelX + 1 76425 KachelY + 1 58378 0.52198490 0.33659060 29.907532 19.285221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33663585-0.33659060) × R
    4.52499999999967e-05 × 6371000     		dl = 288.287749999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33663585-0.33659060) × R
    4.52499999999967e-05 × 6371000     		dr = 288.287749999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52193696-0.52198490) × cos(0.33663585) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943871229202793 × 6371000     		do = 288.282568643784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52193696-0.52198490) × cos(0.33659060) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943886174928811 × 6371000     		du = 288.287133453213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33663585)-sin(0.33659060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943871229202793-0.943886174928811)×R²
    abs(0.52198490-0.52193696)×1.4945726018345e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4945726018345e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4945726018345e-05×40589641000000     		ar = 83108.9910819988m²