Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76422 / 60018
↖ ↑ ↗
← N 14.981933°
E 29.899292°		 ← 295.04 m → N 14.981933°
E 29.902039°		 →
↑
295.04 m
↓
↑
295.04 m
↓
N 14.979280°
E 29.899292°		 ← 295.05 m →
87 050 m²		 N 14.979280°
E 29.902039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583057403564453 y=0.457904815673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583057403564453 × 217)
    floor (0.583057403564453 × 131072)
    floor (76422.5)     		tx = 76422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457904815673828 × 217)
    floor (0.457904815673828 × 131072)
    floor (60018.5)     		ty = 60018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76422 / 60018 ti = "17/76422/60018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76422/60018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76422 ÷ 217
    76422 ÷ 131072     		x = 0.583053588867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60018 ÷ 217
    60018 ÷ 131072     		y = 0.457901000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583053588867188 × 2 - 1) × π
    0.166107177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52184109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457901000976562 × 2 - 1) × π
    0.084197998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.26451581210347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52184109} λ = 0.52184109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.26451581210347))-π/2
    2×atan(1.3028000230381)-π/2
    2×0.916140194323296-π/2
    1.83228038864659-1.57079632675     		φ = 0.26148406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52184109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.899292°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26148406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.981933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76422 KachelY 60018 0.52184109 0.26148406 29.899292 14.981933
    Oben rechts KachelX + 1 76423 KachelY 60018 0.52188903 0.26148406 29.902039 14.981933
    Unten links KachelX 76422 KachelY + 1 60019 0.52184109 0.26143775 29.899292 14.979280
    Unten rechts KachelX + 1 76423 KachelY + 1 60019 0.52188903 0.26143775 29.902039 14.979280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26148406-0.26143775) × R
    4.63099999999939e-05 × 6371000     		dl = 295.041009999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26148406-0.26143775) × R
    4.63099999999939e-05 × 6371000     		dr = 295.041009999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52184109-0.52188903) × cos(0.26148406) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.966007391105801 × 6371000     		do = 295.043522273765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52184109-0.52188903) × cos(0.26143775) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.966019361874071 × 6371000     		du = 295.047178454523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26148406)-sin(0.26143775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966007391105801-0.966019361874071)×R²
    abs(0.52188903-0.52184109)×1.19707682703085e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.19707682703085e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.19707682703085e-05×40589641000000     		ar = 87050.4781828118m²