Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76421 / 57973
↖ ↑ ↗
← N 20.331750°
E 29.896545°		 ← 286.40 m → N 20.331750°
E 29.899292°		 →
↑
286.38 m
↓
↑
286.38 m
↓
N 20.329175°
E 29.896545°		 ← 286.40 m →
82 018 m²		 N 20.329175°
E 29.899292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583049774169922 y=0.442302703857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583049774169922 × 217)
    floor (0.583049774169922 × 131072)
    floor (76421.5)     		tx = 76421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442302703857422 × 217)
    floor (0.442302703857422 × 131072)
    floor (57973.5)     		ty = 57973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76421 / 57973 ti = "17/76421/57973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76421/57973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76421 ÷ 217
    76421 ÷ 131072     		x = 0.583045959472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57973 ÷ 217
    57973 ÷ 131072     		y = 0.442298889160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583045959472656 × 2 - 1) × π
    0.166091918945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.52179315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442298889160156 × 2 - 1) × π
    0.115402221679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.362546771826485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52179315} λ = 0.52179315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.362546771826485))-π/2
    2×atan(1.43698442980078)-π/2
    2×0.962826155040565-π/2
    1.92565231008113-1.57079632675     		φ = 0.35485598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52179315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.896545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35485598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.331750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76421 KachelY 57973 0.52179315 0.35485598 29.896545 20.331750
    Oben rechts KachelX + 1 76422 KachelY 57973 0.52184109 0.35485598 29.899292 20.331750
    Unten links KachelX 76421 KachelY + 1 57974 0.52179315 0.35481103 29.896545 20.329175
    Unten rechts KachelX + 1 76422 KachelY + 1 57974 0.52184109 0.35481103 29.899292 20.329175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35485598-0.35481103) × R
    4.49499999999881e-05 × 6371000     		dl = 286.376449999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35485598-0.35481103) × R
    4.49499999999881e-05 × 6371000     		dr = 286.376449999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52179315-0.52184109) × cos(0.35485598) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.937696539059358 × 6371000     		do = 286.396659337456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52179315-0.52184109) × cos(0.35481103) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.937712156228758 × 6371000     		du = 286.401429222976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35485598)-sin(0.35481103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937696539059358-0.937712156228758)×R²
    abs(0.52184109-0.52179315)×1.56171693997953e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56171693997953e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56171693997953e-05×40589641000000     		ar = 82017.9415980902m²