Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76420 / 60019
↖ ↑ ↗
← N 14.979280°
E 29.893799°		 ← 294.99 m → N 14.979280°
E 29.896545°		 →
↑
294.98 m
↓
↑
294.98 m
↓
N 14.976627°
E 29.893799°		 ← 294.99 m →
87 015 m²		 N 14.976627°
E 29.896545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583042144775391 y=0.457912445068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583042144775391 × 217)
    floor (0.583042144775391 × 131072)
    floor (76420.5)     		tx = 76420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457912445068359 × 217)
    floor (0.457912445068359 × 131072)
    floor (60019.5)     		ty = 60019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76420 / 60019 ti = "17/76420/60019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76420/60019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76420 ÷ 217
    76420 ÷ 131072     		x = 0.583038330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60019 ÷ 217
    60019 ÷ 131072     		y = 0.457908630371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583038330078125 × 2 - 1) × π
    0.16607666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52174522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457908630371094 × 2 - 1) × π
    0.0841827392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.26446787520385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52174522} λ = 0.52174522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.26446787520385))-π/2
    2×atan(1.30273757234103)-π/2
    2×0.916117040480181-π/2
    1.83223408096036-1.57079632675     		φ = 0.26143775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52174522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.893799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26143775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.979280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76420 KachelY 60019 0.52174522 0.26143775 29.893799 14.979280
    Oben rechts KachelX + 1 76421 KachelY 60019 0.52179315 0.26143775 29.896545 14.979280
    Unten links KachelX 76420 KachelY + 1 60020 0.52174522 0.26139145 29.893799 14.976627
    Unten rechts KachelX + 1 76421 KachelY + 1 60020 0.52179315 0.26139145 29.896545 14.976627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26143775-0.26139145) × R
    4.62999999999991e-05 × 6371000     		dl = 294.977299999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26143775-0.26139145) × R
    4.62999999999991e-05 × 6371000     		dr = 294.977299999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52174522-0.52179315) × cos(0.26143775) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.966019361874071 × 6371000     		do = 294.985633361352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52174522-0.52179315) × cos(0.26139145) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.966031327986351 × 6371000     		du = 294.989287357689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26143775)-sin(0.26139145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966019361874071-0.966031327986351)×R²
    abs(0.52179315-0.52174522)×1.19661122797154e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.19661122797154e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.19661122797154e-05×40589641000000     		ar = 87014.6046063189m²