Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76420 / 57972
↖ ↑ ↗
← N 20.334325°
E 29.893799°		 ← 286.33 m → N 20.334325°
E 29.896545°		 →
↑
286.38 m
↓
↑
286.38 m
↓
N 20.331750°
E 29.893799°		 ← 286.34 m →
81 999 m²		 N 20.331750°
E 29.896545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583042144775391 y=0.442295074462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583042144775391 × 217)
    floor (0.583042144775391 × 131072)
    floor (76420.5)     		tx = 76420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442295074462891 × 217)
    floor (0.442295074462891 × 131072)
    floor (57972.5)     		ty = 57972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76420 / 57972 ti = "17/76420/57972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76420/57972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76420 ÷ 217
    76420 ÷ 131072     		x = 0.583038330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57972 ÷ 217
    57972 ÷ 131072     		y = 0.442291259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583038330078125 × 2 - 1) × π
    0.16607666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52174522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442291259765625 × 2 - 1) × π
    0.11541748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.362594708726105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52174522} λ = 0.52174522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.362594708726105))-π/2
    2×atan(1.43705331603023)-π/2
    2×0.962848629985793-π/2
    1.92569725997159-1.57079632675     		φ = 0.35490093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52174522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.893799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35490093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.334325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76420 KachelY 57972 0.52174522 0.35490093 29.893799 20.334325
    Oben rechts KachelX + 1 76421 KachelY 57972 0.52179315 0.35490093 29.896545 20.334325
    Unten links KachelX 76420 KachelY + 1 57973 0.52174522 0.35485598 29.893799 20.331750
    Unten rechts KachelX + 1 76421 KachelY + 1 57973 0.52179315 0.35485598 29.896545 20.331750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35490093-0.35485598) × R
    4.49499999999881e-05 × 6371000     		dl = 286.376449999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35490093-0.35485598) × R
    4.49499999999881e-05 × 6371000     		dr = 286.376449999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52174522-0.52179315) × cos(0.35490093) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.93768091999534 × 6371000     		do = 286.33214922222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52174522-0.52179315) × cos(0.35485598) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.937696539059358 × 6371000     		du = 286.336918691315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35490093)-sin(0.35485598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93768091999534-0.937696539059358)×R²
    abs(0.52179315-0.52174522)×1.56190640180354e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.56190640180354e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.56190640180354e-05×40589641000000     		ar = 81999.4673607214m²