Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7642 / 4038
↖ ↑ ↗
← N 67.016009°
W 12.084961°		 ← 954.04 m → N 67.016009°
W 12.062988°		 →
↑
954.18 m
↓
↑
954.18 m
↓
N 67.007428°
W 12.084961°		 ← 954.37 m →
910 488 m²		 N 67.007428°
W 12.062988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466461181640625 y=0.246490478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466461181640625 × 214)
    floor (0.466461181640625 × 16384)
    floor (7642.5)     		tx = 7642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246490478515625 × 214)
    floor (0.246490478515625 × 16384)
    floor (4038.5)     		ty = 4038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7642 / 4038 ti = "14/7642/4038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7642/4038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7642 ÷ 214
    7642 ÷ 16384     		x = 0.4664306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4038 ÷ 214
    4038 ÷ 16384     		y = 0.2464599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4664306640625 × 2 - 1) × π
    -0.067138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21092236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2464599609375 × 2 - 1) × π
    0.507080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.59303904817371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21092236} λ = -0.21092236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59303904817371))-π/2
    2×atan(4.91867432556483)-π/2
    2×1.37022317073381-π/2
    2.74044634146761-1.57079632675     		φ = 1.16965001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21092236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.084961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16965001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.016009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7642 KachelY 4038 -0.21092236 1.16965001 -12.084961 67.016009
    Oben rechts KachelX + 1 7643 KachelY 4038 -0.21053886 1.16965001 -12.062988 67.016009
    Unten links KachelX 7642 KachelY + 1 4039 -0.21092236 1.16950024 -12.084961 67.007428
    Unten rechts KachelX + 1 7643 KachelY + 1 4039 -0.21053886 1.16950024 -12.062988 67.007428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16965001-1.16950024) × R
    0.000149769999999938 × 6371000     		dl = 954.184669999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16965001-1.16950024) × R
    0.000149769999999938 × 6371000     		dr = 954.184669999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21092236--0.21053886) × cos(1.16965001) × R
    0.000383500000000009 × 0.390473913907928 × 6371000     		do = 954.036518662114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21092236--0.21053886) × cos(1.16950024) × R
    0.000383500000000009 × 0.390611789885647 × 6371000     		du = 954.373388074142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16965001)-sin(1.16950024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390473913907928-0.390611789885647)×R²
    abs(-0.21053886--0.21092236)×0.00013787597771947×R²
    0.000383500000000009×0.00013787597771947×6371000²
    0.000383500000000009×0.00013787597771947×40589641000000     		ar = 910487.74024432m²