Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76418 / 57902
↖ ↑ ↗
← N 20.514499°
E 29.888306°		 ← 286.06 m → N 20.514499°
E 29.891052°		 →
↑
286.06 m
↓
↑
286.06 m
↓
N 20.511927°
E 29.888306°		 ← 286.06 m →
81 829 m²		 N 20.511927°
E 29.891052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583026885986328 y=0.441761016845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583026885986328 × 217)
    floor (0.583026885986328 × 131072)
    floor (76418.5)     		tx = 76418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441761016845703 × 217)
    floor (0.441761016845703 × 131072)
    floor (57902.5)     		ty = 57902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76418 / 57902 ti = "17/76418/57902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76418/57902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76418 ÷ 217
    76418 ÷ 131072     		x = 0.583023071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57902 ÷ 217
    57902 ÷ 131072     		y = 0.441757202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583023071289062 × 2 - 1) × π
    0.166046142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52164934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441757202148438 × 2 - 1) × π
    0.116485595703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.365950291699509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52164934} λ = 0.52164934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.365950291699509))-π/2
    2×atan(1.44188356729146)-π/2
    2×0.964420943573649-π/2
    1.9288418871473-1.57079632675     		φ = 0.35804556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52164934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.888306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35804556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.514499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76418 KachelY 57902 0.52164934 0.35804556 29.888306 20.514499
    Oben rechts KachelX + 1 76419 KachelY 57902 0.52169728 0.35804556 29.891052 20.514499
    Unten links KachelX 76418 KachelY + 1 57903 0.52164934 0.35800066 29.888306 20.511927
    Unten rechts KachelX + 1 76419 KachelY + 1 57903 0.52169728 0.35800066 29.891052 20.511927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35804556-0.35800066) × R
    4.48999999999589e-05 × 6371000     		dl = 286.057899999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35804556-0.35800066) × R
    4.48999999999589e-05 × 6371000     		dr = 286.057899999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52164934-0.52169728) × cos(0.35804556) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.936583534606605 × 6371000     		do = 286.056719129513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52164934-0.52169728) × cos(0.35800066) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.936599268616413 × 6371000     		du = 286.061524701102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35804556)-sin(0.35800066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936583534606605-0.936599268616413)×R²
    abs(0.52169728-0.52164934)×1.57340098076997e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.57340098076997e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.57340098076997e-05×40589641000000     		ar = 81829.4717046158m²