Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76413 / 57981
↖ ↑ ↗
← N 20.311145°
E 29.874573°		 ← 286.38 m → N 20.311145°
E 29.877319°		 →
↑
286.44 m
↓
↑
286.44 m
↓
N 20.308569°
E 29.874573°		 ← 286.38 m →
82 030 m²		 N 20.308569°
E 29.877319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582988739013672 y=0.442363739013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582988739013672 × 217)
    floor (0.582988739013672 × 131072)
    floor (76413.5)     		tx = 76413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442363739013672 × 217)
    floor (0.442363739013672 × 131072)
    floor (57981.5)     		ty = 57981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76413 / 57981 ti = "17/76413/57981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76413/57981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76413 ÷ 217
    76413 ÷ 131072     		x = 0.582984924316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57981 ÷ 217
    57981 ÷ 131072     		y = 0.442359924316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582984924316406 × 2 - 1) × π
    0.165969848632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.52140966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442359924316406 × 2 - 1) × π
    0.115280151367188 × 3.1415926535     		Φ = 0.362163276629524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52140966} λ = 0.52140966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.362163276629524))-π/2
    2×atan(1.43643345882796)-π/2
    2×0.962646342005644-π/2
    1.92529268401129-1.57079632675     		φ = 0.35449636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52140966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.874573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35449636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.311145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76413 KachelY 57981 0.52140966 0.35449636 29.874573 20.311145
    Oben rechts KachelX + 1 76414 KachelY 57981 0.52145759 0.35449636 29.877319 20.311145
    Unten links KachelX 76413 KachelY + 1 57982 0.52140966 0.35445140 29.874573 20.308569
    Unten rechts KachelX + 1 76414 KachelY + 1 57982 0.52145759 0.35445140 29.877319 20.308569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35449636-0.35445140) × R
    4.49599999999828e-05 × 6371000     		dl = 286.44015999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35449636-0.35445140) × R
    4.49599999999828e-05 × 6371000     		dr = 286.44015999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52140966-0.52145759) × cos(0.35449636) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.937821430304959 × 6371000     		do = 286.375055735601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52140966-0.52145759) × cos(0.35445140) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.937837035786194 × 6371000     		du = 286.37982105703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35449636)-sin(0.35445140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937821430304959-0.937837035786194)×R²
    abs(0.52145759-0.52140966)×1.56054812346929e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.56054812346929e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.56054812346929e-05×40589641000000     		ar = 82029.9992883351m²