Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76413 / 57970
↖ ↑ ↗
← N 20.339476°
E 29.874573°		 ← 286.32 m → N 20.339476°
E 29.877319°		 →
↑
286.38 m
↓
↑
286.38 m
↓
N 20.336901°
E 29.874573°		 ← 286.33 m →
81 997 m²		 N 20.336901°
E 29.877319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582988739013672 y=0.442279815673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582988739013672 × 217)
    floor (0.582988739013672 × 131072)
    floor (76413.5)     		tx = 76413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442279815673828 × 217)
    floor (0.442279815673828 × 131072)
    floor (57970.5)     		ty = 57970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76413 / 57970 ti = "17/76413/57970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76413/57970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76413 ÷ 217
    76413 ÷ 131072     		x = 0.582984924316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57970 ÷ 217
    57970 ÷ 131072     		y = 0.442276000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582984924316406 × 2 - 1) × π
    0.165969848632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.52140966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442276000976562 × 2 - 1) × π
    0.115447998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.362690582525345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52140966} λ = 0.52140966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.362690582525345))-π/2
    2×atan(1.43719109839611)-π/2
    2×0.962893578753058-π/2
    1.92578715750612-1.57079632675     		φ = 0.35499083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52140966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.874573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35499083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.339476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76413 KachelY 57970 0.52140966 0.35499083 29.874573 20.339476
    Oben rechts KachelX + 1 76414 KachelY 57970 0.52145759 0.35499083 29.877319 20.339476
    Unten links KachelX 76413 KachelY + 1 57971 0.52140966 0.35494588 29.874573 20.336901
    Unten rechts KachelX + 1 76414 KachelY + 1 57971 0.52145759 0.35494588 29.877319 20.336901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35499083-0.35494588) × R
    4.49499999999881e-05 × 6371000     		dl = 286.376449999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35499083-0.35494588) × R
    4.49499999999881e-05 × 6371000     		dr = 286.376449999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52140966-0.52145759) × cos(0.35499083) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.937649676183576 × 6371000     		do = 286.322608548435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52140966-0.52145759) × cos(0.35494588) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.937665299036735 × 6371000     		du = 286.32737917459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35499083)-sin(0.35494588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937649676183576-0.937665299036735)×R²
    abs(0.52145759-0.52140966)×1.56228531597025e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.56228531597025e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.56228531597025e-05×40589641000000     		ar = 81996.7353021501m²