Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76413 / 57965
↖ ↑ ↗
← N 20.352352°
E 29.874573°		 ← 286.30 m → N 20.352352°
E 29.877319°		 →
↑
286.31 m
↓
↑
286.31 m
↓
N 20.349778°
E 29.874573°		 ← 286.30 m →
81 972 m²		 N 20.349778°
E 29.877319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582988739013672 y=0.442241668701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582988739013672 × 217)
    floor (0.582988739013672 × 131072)
    floor (76413.5)     		tx = 76413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442241668701172 × 217)
    floor (0.442241668701172 × 131072)
    floor (57965.5)     		ty = 57965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76413 / 57965 ti = "17/76413/57965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76413/57965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76413 ÷ 217
    76413 ÷ 131072     		x = 0.582984924316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57965 ÷ 217
    57965 ÷ 131072     		y = 0.442237854003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582984924316406 × 2 - 1) × π
    0.165969848632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.52140966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442237854003906 × 2 - 1) × π
    0.115524291992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.362930267023445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52140966} λ = 0.52140966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.362930267023445))-π/2
    2×atan(1.43753561210885)-π/2
    2×0.963005944117456-π/2
    1.92601188823491-1.57079632675     		φ = 0.35521556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52140966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.874573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35521556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.352352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76413 KachelY 57965 0.52140966 0.35521556 29.874573 20.352352
    Oben rechts KachelX + 1 76414 KachelY 57965 0.52145759 0.35521556 29.877319 20.352352
    Unten links KachelX 76413 KachelY + 1 57966 0.52140966 0.35517062 29.874573 20.349778
    Unten rechts KachelX + 1 76414 KachelY + 1 57966 0.52145759 0.35517062 29.877319 20.349778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35521556-0.35517062) × R
    4.49399999999933e-05 × 6371000     		dl = 286.312739999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35521556-0.35517062) × R
    4.49399999999933e-05 × 6371000     		dr = 286.312739999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52140966-0.52145759) × cos(0.35521556) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.937571540456405 × 6371000     		do = 286.29874886417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52140966-0.52145759) × cos(0.35517062) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.937587169303521 × 6371000     		du = 286.303521320652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35521556)-sin(0.35517062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937571540456405-0.937587169303521)×R²
    abs(0.52145759-0.52140966)×1.56288471153676e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.56288471153676e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.56288471153676e-05×40589641000000     		ar = 81971.6624672205m²