Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76412 / 57987
↖ ↑ ↗
← N 20.295690°
E 29.871826°		 ← 286.46 m → N 20.295690°
E 29.874573°		 →
↑
286.44 m
↓
↑
286.44 m
↓
N 20.293114°
E 29.871826°		 ← 286.47 m →
82 055 m²		 N 20.293114°
E 29.874573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582981109619141 y=0.442409515380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582981109619141 × 217)
    floor (0.582981109619141 × 131072)
    floor (76412.5)     		tx = 76412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442409515380859 × 217)
    floor (0.442409515380859 × 131072)
    floor (57987.5)     		ty = 57987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76412 / 57987 ti = "17/76412/57987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76412/57987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76412 ÷ 217
    76412 ÷ 131072     		x = 0.582977294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57987 ÷ 217
    57987 ÷ 131072     		y = 0.442405700683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582977294921875 × 2 - 1) × π
    0.16595458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52136172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442405700683594 × 2 - 1) × π
    0.115188598632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.361875655231804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52136172} λ = 0.52136172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.361875655231804))-π/2
    2×atan(1.43602036923835)-π/2
    2×0.962511466519065-π/2
    1.92502293303813-1.57079632675     		φ = 0.35422661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52136172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.871826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35422661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.295690°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76412 KachelY 57987 0.52136172 0.35422661 29.871826 20.295690
    Oben rechts KachelX + 1 76413 KachelY 57987 0.52140966 0.35422661 29.874573 20.295690
    Unten links KachelX 76412 KachelY + 1 57988 0.52136172 0.35418165 29.871826 20.293114
    Unten rechts KachelX + 1 76413 KachelY + 1 57988 0.52140966 0.35418165 29.874573 20.293114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35422661-0.35418165) × R
    4.49599999999828e-05 × 6371000     		dl = 286.44015999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35422661-0.35418165) × R
    4.49599999999828e-05 × 6371000     		dr = 286.44015999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52136172-0.52140966) × cos(0.35422661) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.937915031286906 × 6371000     		do = 286.463392487739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52136172-0.52140966) × cos(0.35418165) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.937930625393618 × 6371000     		du = 286.468155329321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35422661)-sin(0.35418165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937915031286906-0.937930625393618)×R²
    abs(0.52140966-0.52136172)×1.55941067117027e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55941067117027e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55941067117027e-05×40589641000000     		ar = 82055.302126736m²