Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76411 / 59309
↖ ↑ ↗
← N 16.854491°
E 29.869079°		 ← 292.31 m → N 16.854491°
E 29.871826°		 →
↑
292.30 m
↓
↑
292.30 m
↓
N 16.851862°
E 29.869079°		 ← 292.31 m →
85 442 m²		 N 16.851862°
E 29.871826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582973480224609 y=0.452495574951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582973480224609 × 217)
    floor (0.582973480224609 × 131072)
    floor (76411.5)     		tx = 76411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452495574951172 × 217)
    floor (0.452495574951172 × 131072)
    floor (59309.5)     		ty = 59309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76411 / 59309 ti = "17/76411/59309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76411/59309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76411 ÷ 217
    76411 ÷ 131072     		x = 0.582969665527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59309 ÷ 217
    59309 ÷ 131072     		y = 0.452491760253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582969665527344 × 2 - 1) × π
    0.165939331054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.52131378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452491760253906 × 2 - 1) × π
    0.0950164794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.29850307393409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52131378} λ = 0.52131378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.29850307393409))-π/2
    2×atan(1.34783968036076)-π/2
    2×0.932481344869117-π/2
    1.86496268973823-1.57079632675     		φ = 0.29416636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52131378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.869079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29416636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.854491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76411 KachelY 59309 0.52131378 0.29416636 29.869079 16.854491
    Oben rechts KachelX + 1 76412 KachelY 59309 0.52136172 0.29416636 29.871826 16.854491
    Unten links KachelX 76411 KachelY + 1 59310 0.52131378 0.29412048 29.869079 16.851862
    Unten rechts KachelX + 1 76412 KachelY + 1 59310 0.52136172 0.29412048 29.871826 16.851862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29416636-0.29412048) × R
    4.58799999999981e-05 × 6371000     		dl = 292.301479999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29416636-0.29412048) × R
    4.58799999999981e-05 × 6371000     		dr = 292.301479999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52131378-0.52136172) × cos(0.29416636) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.95704418219409 × 6371000     		do = 292.30592755981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52131378-0.52136172) × cos(0.29412048) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.957057483731304 × 6371000     		du = 292.309990191657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29416636)-sin(0.29412048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95704418219409-0.957057483731304)×R²
    abs(0.52136172-0.52131378)×1.33015372141276e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.33015372141276e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.33015372141276e-05×40589641000000     		ar = 85442.0490101769m²