Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76410 / 59308
↖ ↑ ↗
← N 16.857120°
E 29.866333°		 ← 292.24 m → N 16.857120°
E 29.869079°		 →
↑
292.30 m
↓
↑
292.30 m
↓
N 16.854491°
E 29.866333°		 ← 292.24 m →
85 423 m²		 N 16.854491°
E 29.869079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582965850830078 y=0.452487945556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582965850830078 × 217)
    floor (0.582965850830078 × 131072)
    floor (76410.5)     		tx = 76410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452487945556641 × 217)
    floor (0.452487945556641 × 131072)
    floor (59308.5)     		ty = 59308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76410 / 59308 ti = "17/76410/59308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76410/59308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76410 ÷ 217
    76410 ÷ 131072     		x = 0.582962036132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59308 ÷ 217
    59308 ÷ 131072     		y = 0.452484130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582962036132812 × 2 - 1) × π
    0.165924072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52126585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452484130859375 × 2 - 1) × π
    0.09503173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.29855101083371
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52126585} λ = 0.52126585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.29855101083371))-π/2
    2×atan(1.34790429316488)-π/2
    2×0.932504283575124-π/2
    1.86500856715025-1.57079632675     		φ = 0.29421224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52126585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.866333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29421224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.857120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76410 KachelY 59308 0.52126585 0.29421224 29.866333 16.857120
    Oben rechts KachelX + 1 76411 KachelY 59308 0.52131378 0.29421224 29.869079 16.857120
    Unten links KachelX 76410 KachelY + 1 59309 0.52126585 0.29416636 29.866333 16.854491
    Unten rechts KachelX + 1 76411 KachelY + 1 59309 0.52131378 0.29416636 29.869079 16.854491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29421224-0.29416636) × R
    4.58799999999981e-05 × 6371000     		dl = 292.301479999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29421224-0.29416636) × R
    4.58799999999981e-05 × 6371000     		dr = 292.301479999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52126585-0.52131378) × cos(0.29421224) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.957030878642322 × 6371000     		do = 292.240891874405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52126585-0.52131378) × cos(0.29416636) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.95704418219409 × 6371000     		du = 292.244954273979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29421224)-sin(0.29416636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957030878642322-0.95704418219409)×R²
    abs(0.52131378-0.52126585)×1.33035517676516e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.33035517676516e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.33035517676516e-05×40589641000000     		ar = 85423.0389491359m²