Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76410 / 57966
↖ ↑ ↗
← N 20.349778°
E 29.866333°		 ← 286.30 m → N 20.349778°
E 29.869079°		 →
↑
286.38 m
↓
↑
286.38 m
↓
N 20.347202°
E 29.866333°		 ← 286.31 m →
81 991 m²		 N 20.347202°
E 29.869079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582965850830078 y=0.442249298095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582965850830078 × 217)
    floor (0.582965850830078 × 131072)
    floor (76410.5)     		tx = 76410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442249298095703 × 217)
    floor (0.442249298095703 × 131072)
    floor (57966.5)     		ty = 57966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76410 / 57966 ti = "17/76410/57966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76410/57966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76410 ÷ 217
    76410 ÷ 131072     		x = 0.582962036132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57966 ÷ 217
    57966 ÷ 131072     		y = 0.442245483398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582962036132812 × 2 - 1) × π
    0.165924072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52126585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442245483398438 × 2 - 1) × π
    0.115509033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.362882330123825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52126585} λ = 0.52126585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.362882330123825))-π/2
    2×atan(1.43746670276017)-π/2
    2×0.962983471793735-π/2
    1.92596694358747-1.57079632675     		φ = 0.35517062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52126585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.866333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35517062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.349778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76410 KachelY 57966 0.52126585 0.35517062 29.866333 20.349778
    Oben rechts KachelX + 1 76411 KachelY 57966 0.52131378 0.35517062 29.869079 20.349778
    Unten links KachelX 76410 KachelY + 1 57967 0.52126585 0.35512567 29.866333 20.347202
    Unten rechts KachelX + 1 76411 KachelY + 1 57967 0.52131378 0.35512567 29.869079 20.347202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35517062-0.35512567) × R
    4.49499999999881e-05 × 6371000     		dl = 286.376449999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35517062-0.35512567) × R
    4.49499999999881e-05 × 6371000     		dr = 286.376449999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52126585-0.52131378) × cos(0.35517062) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.937587169303521 × 6371000     		do = 286.303521319989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52126585-0.52131378) × cos(0.35512567) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.937602799734163 × 6371000     		du = 286.30829426002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35517062)-sin(0.35512567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937587169303521-0.937602799734163)×R²
    abs(0.52131378-0.52126585)×1.56304306428989e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.56304306428989e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.56304306428989e-05×40589641000000     		ar = 81991.2695006387m²