Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76410 / 57962
↖ ↑ ↗
← N 20.360078°
E 29.866333°		 ← 286.28 m → N 20.360078°
E 29.869079°		 →
↑
286.31 m
↓
↑
286.31 m
↓
N 20.357503°
E 29.866333°		 ← 286.29 m →
81 968 m²		 N 20.357503°
E 29.869079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582965850830078 y=0.442218780517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582965850830078 × 217)
    floor (0.582965850830078 × 131072)
    floor (76410.5)     		tx = 76410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442218780517578 × 217)
    floor (0.442218780517578 × 131072)
    floor (57962.5)     		ty = 57962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76410 / 57962 ti = "17/76410/57962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76410/57962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76410 ÷ 217
    76410 ÷ 131072     		x = 0.582962036132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57962 ÷ 217
    57962 ÷ 131072     		y = 0.442214965820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582962036132812 × 2 - 1) × π
    0.165924072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52126585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442214965820312 × 2 - 1) × π
    0.115570068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.363074077722305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52126585} λ = 0.52126585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.363074077722305))-π/2
    2×atan(1.43774235997578)-π/2
    2×0.963073358840517-π/2
    1.92614671768103-1.57079632675     		φ = 0.35535039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52126585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.866333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35535039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.360078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76410 KachelY 57962 0.52126585 0.35535039 29.866333 20.360078
    Oben rechts KachelX + 1 76411 KachelY 57962 0.52131378 0.35535039 29.869079 20.360078
    Unten links KachelX 76410 KachelY + 1 57963 0.52126585 0.35530545 29.866333 20.357503
    Unten rechts KachelX + 1 76411 KachelY + 1 57963 0.52131378 0.35530545 29.869079 20.357503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35535039-0.35530545) × R
    4.49399999999933e-05 × 6371000     		dl = 286.312739999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35535039-0.35530545) × R
    4.49399999999933e-05 × 6371000     		dr = 286.312739999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52126585-0.52131378) × cos(0.35535039) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.93752463907486 × 6371000     		do = 286.284426962428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52126585-0.52131378) × cos(0.35530545) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.93754027360287 × 6371000     		du = 286.28920115364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35535039)-sin(0.35530545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93752463907486-0.93754027360287)×R²
    abs(0.52131378-0.52126585)×1.56345280105663e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.56345280105663e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.56345280105663e-05×40589641000000     		ar = 81967.5621725699m²