Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7641 / 5113
↖ ↑ ↗
← N 55.862982°
W 12.106933°		 ← 1 371.07 m → N 55.862982°
W 12.084961°		 →
↑
1 371.29 m
↓
↑
1 371.29 m
↓
N 55.850650°
W 12.106933°		 ← 1 371.50 m →
1 880 436 m²		 N 55.850650°
W 12.084961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466400146484375 y=0.312103271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466400146484375 × 214)
    floor (0.466400146484375 × 16384)
    floor (7641.5)     		tx = 7641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312103271484375 × 214)
    floor (0.312103271484375 × 16384)
    floor (5113.5)     		ty = 5113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7641 / 5113 ti = "14/7641/5113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7641/5113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7641 ÷ 214
    7641 ÷ 16384     		x = 0.46636962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5113 ÷ 214
    5113 ÷ 16384     		y = 0.31207275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46636962890625 × 2 - 1) × π
    -0.0672607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21130585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31207275390625 × 2 - 1) × π
    0.3758544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18078171144122
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21130585} λ = -0.21130585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18078171144122))-π/2
    2×atan(3.25691917902698)-π/2
    2×1.27289464905165-π/2
    2.5457892981033-1.57079632675     		φ = 0.97499297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21130585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.106933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97499297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.862982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7641 KachelY 5113 -0.21130585 0.97499297 -12.106933 55.862982
    Oben rechts KachelX + 1 7642 KachelY 5113 -0.21092236 0.97499297 -12.084961 55.862982
    Unten links KachelX 7641 KachelY + 1 5114 -0.21130585 0.97477773 -12.106933 55.850650
    Unten rechts KachelX + 1 7642 KachelY + 1 5114 -0.21092236 0.97477773 -12.084961 55.850650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97499297-0.97477773) × R
    0.00021523999999995 × 6371000     		dl = 1371.29403999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97499297-0.97477773) × R
    0.00021523999999995 × 6371000     		dr = 1371.29403999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21130585--0.21092236) × cos(0.97499297) × R
    0.000383489999999986 × 0.561173872279749 × 6371000     		do = 1371.0683045154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21130585--0.21092236) × cos(0.97477773) × R
    0.000383489999999986 × 0.56135201298455 × 6371000     		du = 1371.50354052007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97499297)-sin(0.97477773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561173872279749-0.56135201298455)×R²
    abs(-0.21092236--0.21130585)×0.000178140704800933×R²
    0.000383489999999986×0.000178140704800933×6371000²
    0.000383489999999986×0.000178140704800933×40589641000000     		ar = 1880436.21994455m²