Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7641 / 4263
↖ ↑ ↗
← N 65.007224°
W 12.106933°		 ← 1 032.27 m → N 65.007224°
W 12.084961°		 →
↑
1 032.42 m
↓
↑
1 032.42 m
↓
N 64.997939°
W 12.106933°		 ← 1 032.63 m →
1 065 920 m²		 N 64.997939°
W 12.084961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466400146484375 y=0.260223388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466400146484375 × 214)
    floor (0.466400146484375 × 16384)
    floor (7641.5)     		tx = 7641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260223388671875 × 214)
    floor (0.260223388671875 × 16384)
    floor (4263.5)     		ty = 4263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7641 / 4263 ti = "14/7641/4263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7641/4263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7641 ÷ 214
    7641 ÷ 16384     		x = 0.46636962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4263 ÷ 214
    4263 ÷ 16384     		y = 0.26019287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46636962890625 × 2 - 1) × π
    -0.0672607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21130585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26019287109375 × 2 - 1) × π
    0.4796142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.5067526288576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21130585} λ = -0.21130585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5067526288576))-π/2
    2×atan(4.51205466168536)-π/2
    2×1.35269321462432-π/2
    2.70538642924864-1.57079632675     		φ = 1.13459010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21130585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.106933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13459010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.007224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7641 KachelY 4263 -0.21130585 1.13459010 -12.106933 65.007224
    Oben rechts KachelX + 1 7642 KachelY 4263 -0.21092236 1.13459010 -12.084961 65.007224
    Unten links KachelX 7641 KachelY + 1 4264 -0.21130585 1.13442805 -12.106933 64.997939
    Unten rechts KachelX + 1 7642 KachelY + 1 4264 -0.21092236 1.13442805 -12.084961 64.997939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13459010-1.13442805) × R
    0.000162050000000136 × 6371000     		dl = 1032.42055000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13459010-1.13442805) × R
    0.000162050000000136 × 6371000     		dr = 1032.42055000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21130585--0.21092236) × cos(1.13459010) × R
    0.000383489999999986 × 0.422503985473428 × 6371000     		do = 1032.26798614259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21130585--0.21092236) × cos(1.13442805) × R
    0.000383489999999986 × 0.422650855736037 × 6371000     		du = 1032.62682174041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13459010)-sin(1.13442805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422503985473428-0.422650855736037)×R²
    abs(-0.21092236--0.21130585)×0.000146870262609178×R²
    0.000383489999999986×0.000146870262609178×6371000²
    0.000383489999999986×0.000146870262609178×40589641000000     		ar = 1065919.91895826m²