Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7641 / 4042
↖ ↑ ↗
← N 66.981666°
W 12.106933°		 ← 955.36 m → N 66.981666°
W 12.084961°		 →
↑
955.52 m
↓
↑
955.52 m
↓
N 66.973073°
W 12.106933°		 ← 955.70 m →
913 029 m²		 N 66.973073°
W 12.084961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466400146484375 y=0.246734619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466400146484375 × 214)
    floor (0.466400146484375 × 16384)
    floor (7641.5)     		tx = 7641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246734619140625 × 214)
    floor (0.246734619140625 × 16384)
    floor (4042.5)     		ty = 4042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7641 / 4042 ti = "14/7641/4042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7641/4042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7641 ÷ 214
    7641 ÷ 16384     		x = 0.46636962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4042 ÷ 214
    4042 ÷ 16384     		y = 0.2467041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46636962890625 × 2 - 1) × π
    -0.0672607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21130585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2467041015625 × 2 - 1) × π
    0.506591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.59150506738586
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21130585} λ = -0.21130585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59150506738586))-π/2
    2×atan(4.91113495774886)-π/2
    2×1.36992346944409-π/2
    2.73984693888818-1.57079632675     		φ = 1.16905061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21130585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.106933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16905061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.981666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7641 KachelY 4042 -0.21130585 1.16905061 -12.106933 66.981666
    Oben rechts KachelX + 1 7642 KachelY 4042 -0.21092236 1.16905061 -12.084961 66.981666
    Unten links KachelX 7641 KachelY + 1 4043 -0.21130585 1.16890063 -12.106933 66.973073
    Unten rechts KachelX + 1 7642 KachelY + 1 4043 -0.21092236 1.16890063 -12.084961 66.973073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16905061-1.16890063) × R
    0.000149979999999994 × 6371000     		dl = 955.522579999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16905061-1.16890063) × R
    0.000149979999999994 × 6371000     		dr = 955.522579999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21130585--0.21092236) × cos(1.16905061) × R
    0.000383489999999986 × 0.391025659756983 × 6371000     		do = 955.359675187734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21130585--0.21092236) × cos(1.16890063) × R
    0.000383489999999986 × 0.391163693917513 × 6371000     		du = 955.696922290268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16905061)-sin(1.16890063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391025659756983-0.391163693917513)×R²
    abs(-0.21092236--0.21130585)×0.000138034160530653×R²
    0.000383489999999986×0.000138034160530653×6371000²
    0.000383489999999986×0.000138034160530653×40589641000000     		ar = 913028.866985636m²