Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76409 / 59861
↖ ↑ ↗
← N 15.398080°
E 29.863586°		 ← 294.46 m → N 15.398080°
E 29.866333°		 →
↑
294.40 m
↓
↑
294.40 m
↓
N 15.395432°
E 29.863586°		 ← 294.47 m →
86 691 m²		 N 15.395432°
E 29.866333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582958221435547 y=0.456707000732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582958221435547 × 217)
    floor (0.582958221435547 × 131072)
    floor (76409.5)     		tx = 76409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456707000732422 × 217)
    floor (0.456707000732422 × 131072)
    floor (59861.5)     		ty = 59861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76409 / 59861 ti = "17/76409/59861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76409/59861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76409 ÷ 217
    76409 ÷ 131072     		x = 0.582954406738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59861 ÷ 217
    59861 ÷ 131072     		y = 0.456703186035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582954406738281 × 2 - 1) × π
    0.165908813476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.52121791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456703186035156 × 2 - 1) × π
    0.0865936279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.272041905343819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52121791} λ = 0.52121791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.272041905343819))-π/2
    2×atan(1.3126420068732)-π/2
    2×0.919771759254316-π/2
    1.83954351850863-1.57079632675     		φ = 0.26874719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52121791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.863586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26874719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.398080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76409 KachelY 59861 0.52121791 0.26874719 29.863586 15.398080
    Oben rechts KachelX + 1 76410 KachelY 59861 0.52126585 0.26874719 29.866333 15.398080
    Unten links KachelX 76409 KachelY + 1 59862 0.52121791 0.26870098 29.863586 15.395432
    Unten rechts KachelX + 1 76410 KachelY + 1 59862 0.52126585 0.26870098 29.866333 15.395432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26874719-0.26870098) × R
    4.62100000000465e-05 × 6371000     		dl = 294.403910000296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26874719-0.26870098) × R
    4.62100000000465e-05 × 6371000     		dr = 294.403910000296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52121791-0.52126585) × cos(0.26874719) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.964104303754711 × 6371000     		do = 294.462270411956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52121791-0.52126585) × cos(0.26870098) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.964116572580419 × 6371000     		du = 294.466017627127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26874719)-sin(0.26870098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964104303754711-0.964116572580419)×R²
    abs(0.52126585-0.52121791)×1.22688257078174e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.22688257078174e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.22688257078174e-05×40589641000000     		ar = 86691.3953696732m²