Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76409 / 57979
↖ ↑ ↗
← N 20.316297°
E 29.863586°		 ← 286.43 m → N 20.316297°
E 29.866333°		 →
↑
286.44 m
↓
↑
286.44 m
↓
N 20.313721°
E 29.863586°		 ← 286.43 m →
82 044 m²		 N 20.313721°
E 29.866333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582958221435547 y=0.442348480224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582958221435547 × 217)
    floor (0.582958221435547 × 131072)
    floor (76409.5)     		tx = 76409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442348480224609 × 217)
    floor (0.442348480224609 × 131072)
    floor (57979.5)     		ty = 57979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76409 / 57979 ti = "17/76409/57979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76409/57979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76409 ÷ 217
    76409 ÷ 131072     		x = 0.582954406738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57979 ÷ 217
    57979 ÷ 131072     		y = 0.442344665527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582954406738281 × 2 - 1) × π
    0.165908813476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.52121791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442344665527344 × 2 - 1) × π
    0.115310668945312 × 3.1415926535     		Φ = 0.362259150428764
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52121791} λ = 0.52121791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.362259150428764))-π/2
    2×atan(1.43657118176292)-π/2
    2×0.962691297509343-π/2
    1.92538259501869-1.57079632675     		φ = 0.35458627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52121791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.863586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35458627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.316297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76409 KachelY 57979 0.52121791 0.35458627 29.863586 20.316297
    Oben rechts KachelX + 1 76410 KachelY 57979 0.52126585 0.35458627 29.866333 20.316297
    Unten links KachelX 76409 KachelY + 1 57980 0.52121791 0.35454131 29.863586 20.313721
    Unten rechts KachelX + 1 76410 KachelY + 1 57980 0.52126585 0.35454131 29.866333 20.313721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35458627-0.35454131) × R
    4.49599999999828e-05 × 6371000     		dl = 286.44015999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35458627-0.35454131) × R
    4.49599999999828e-05 × 6371000     		dr = 286.44015999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52121791-0.52126585) × cos(0.35458627) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.937790217127404 × 6371000     		do = 286.425271031373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52121791-0.52126585) × cos(0.35454131) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.937805826399613 × 6371000     		du = 286.430038504889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35458627)-sin(0.35454131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937790217127404-0.937805826399613)×R²
    abs(0.52126585-0.52121791)×1.56092722091161e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.56092722091161e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.56092722091161e-05×40589641000000     		ar = 82044.3832740444m²